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Stochastik unabhängige Zufallsvariablen

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Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

mathe84 aktiv_icon

23:39 Uhr, 11.06.2020

Hallo Leute, ich habe folgende Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme:

Es seien stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in {1, 2, 3, . . .}. Zeigen Sie, dass für alle 1≤k ≤ n gilt

E (\sum_{i = 1}^{k} X_{i} / \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = k / n

Hinweis: Im Allgemeinen gilt nicht

E (1 / X) = 1 / E (X)

.

Kann mir jemand helfen? Wäre euch sehr dankbar!!

DrBoogie aktiv_icon

09:44 Uhr, 12.06.2020

Es reicht zu zeigen, dass

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}) = 1 / n

für alle

j

, denn E ist additiv.

X_{j}

sind identisch verteilt und unabhängig => auch

\frac{X_{j}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}

sind identisch verteilt =>

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}})

sind alle gleich.

Aber

E (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} + \frac{X_{2}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} + . . . + \frac{X_{n}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}) = E (1) = 1

. Daraus folgt

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}) = 1 / n

für alle

k

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