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Stochastikfrage zur Poissonverteilung

Universität / Fachhochschule

Tags: Poisson-Verteilung, Stochastik, Verteilung, Zufallsgrößen

Buggy-at-Trial aktiv_icon

16:14 Uhr, 06.10.2015

Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe zur Poisson-Verteilung, welche ich noch nicht lösen kann, da mir die korrekte Herangehensweise fehlt. Sprich ich muss (meiner Vermutung nach) noch

Λ

finden bzw. ausrechnen um die Formel für die Poissonverteilung anzuwenden.
Ich bin mir nicht sicher was leztlich

k

ist, sowie

n,

oder

p,

damit ich

u . a

Λ

berechnen kann.
Eventuell hat ja jemand einen Tipp für mich, oder auch Tipp+1.
Wenn jemand natürlich die Musterlösung hat, ist dies natürlich der HAMMER!

Nun zur Aufgabe:
An einem schönen Sommerabend kann man auf dem Dach einer Universität durchschnittlich alle zehn Minuten eine Sternschnuppe beobachten. Die Zufallsgröße

X,

die die Anzahl der Sternschnuppen während der Beobachtungszeit von

15

Minuten angibt, besitzt eine Poisson-Verteilung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Viertelstunde mindestens zwei Sternschnuppen beobachtet werden?

In diesem Sinne schon einmal vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:34 Uhr, 06.10.2015

In der Poisson-Verteilung gibt's keine

n

oder

p

.
Die Verteilung ist durch

P_{λ} (k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}

definiert.

λ

ist ein Parameter. Er hat die schöne Eigenschaft, gleich dem Eigenwert (einer so verteilter Variable) zu sein. Die Variable misst übrigens die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitintervall.
Wenn wir für Zeitintervall eine Viertelstunde (15 Min.) wählen, dann haben wir nach den Angaben durchschnittlich

1.5

Sternschnuppen pro Zeiteinheit, dass ist der Erwartungswert. Also haben in diesem Fall die Verteilung

\frac{1 . 5^{k}}{k!} e^{- 1.5}

- wenn wir Zeit in Vierteilstunden messen.

Jetzt ist die Frage nach der W-keit, mindestens

2

Sternschnuppen in eine Viertelstunde zu haben. Das ist

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1 . 5^{k}}{k!} e^{- 1.5}

oder, um es berechnen zu können, dürfen wir das einfach als

1 - \sum_{k = 0}^{1} \frac{1 . 5^{k}}{k!} e^{- 1.5}

schreiben, also

1 - e^{- 1.5} - 1.5 e^{- 1.5}

. Da habe ich benutzt, dass

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1 . 5^{k}}{k!} e^{- 1.5} = 1

Buggy-at-Trial aktiv_icon

11:18 Uhr, 07.10.2015

Vielen Dank DrBoogie,
ja ich hatte vermutet, dass ich

Λ

über

n \cdot p

hätte bilden müssen...

Vielen Dank!

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