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Stochastisch unabhängig max min

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Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

 
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Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

16:00 Uhr, 10.05.2021

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Hallo, ich habe Probleme bei einer Aufgabe:
Gegeben sind X1,...,Xn gleichverteilte unabhängige Zufallsvariablen und m:=min(X1,...,Xn) und M:=max(X1,...,Xn). Ich soll bestimmen, ob m und M stochastisch unabhängig sind. Verteilungsfunktionen und Dichte habe ich bestimmt.

Wenn ich die Unabhängigkeit mit der Verteilungsfunktion zeigen möchte, muss ich ja zeigen:
P(m≤x,M≤x)=P(m≤x)P(M≤x)=Fm(x)FM(x), nun weiß ich leider nicht, was die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(m≤x,M≤x)=P(min(X1,...,Xn)≤x,max(X1,...,Xn)≤x) genau ist... wenn M≤x ist ja jedes Xi kleiner x, insbesondere das Minimum m, aber wenn das Minimum kleiner x ist, muss ja nicht M≤x gelten. Hätte jetzt gesagt, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(m≤x) ist und somit sind m,M nicht unabhängig, da P(M≤x)=(F(x))n≠1, oder? Danke für jede Hilfe
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:03 Uhr, 10.05.2021

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Da aus M≤x klar m≤x folgt, haben wir (m≤x)∩(M≤x)=M≤x und damit P(m≤x,M≤x)=P(M≤x). Und da P(m≤x) nicht immer 1 ist, sind sie nicht unabhängig.
Frage beantwortet
Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

16:08 Uhr, 10.05.2021

Antworten
Danke! Hatte dann wohl ne Logikfehler mit m und M, Frage beantwortet!