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Stochastisch unabhängige Ereignisse

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Tags: Stochachastik, test, Unabhängige Ereignisse

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Badabumm

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16:26 Uhr, 26.03.2020

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Aus einer Urne mit 5 Kugeln (3 rot, 2 blau) werden nacheinander zwei Kugeln entnommen.
Ereignis A: 1. Kugel ist rot
Ereignis B: 2. Kugel ist blau
a] Die erste Kugel wird nach dem Ziehen zurückgelegt. Weisen Sie nach:

P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)

b] Die erste Kugel wird nach dem Ziehen nicht zurückgelegt. Weisen Sie nach:

P (A) \cdot P (B) \neq P (A \cap B)

Lösung:

a) Ziehen mit zurücklegen:

P (A) = \frac{3}{5}

P (B) = \frac{2}{5}

P (A \cap B) = \frac{6}{25}

\Rightarrow P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)

und somit stochastisch unabhängig

b) Ziehen ohne zurücklegen:

P (A) = \frac{3}{5}

P (B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

P (A \cap B) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

\Rightarrow P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)

und somit auch stochastisch unabhängig.
Aber Wieso? Wo habe ich einen Denkfehler oder ist die Aufgabe im Mathebuch falsch?!

Vielen Dank für eure Hilfe und bleibt gesund!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Badabumm

Badabumm aktiv_icon

16:52 Uhr, 26.03.2020

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Alle (25) Möglichkeiten (mit zurücklegen):

(\begin{array}{rcl} R_{1} R_{1} & R_{2} R_{1} & R_{3} R_{1} & B_{1} R_{1} & B_{2} R_{1} \\ R_{1} R_{2} & R_{2} R_{2} & R_{3} R_{2} & B_{1} R_{2} & B_{2} R_{2} \\ R_{1} R_{3} & R_{2} R_{3} & R_{3} R_{3} & B_{1} R_{3} & B_{2} R_{3} \\ R_{1} B_{1} & R_{2} B_{1} & R_{3} B_{1} & B_{1} B_{1} & B_{2} B_{1} \\ R_{1} B_{2} & R_{2} B_{2} & R_{3} B_{2} & B_{1} B_{2} & B_{2} B_{2} \end{array})

Alle (20) Möglichkeiten (ohne zurücklegen):

(\begin{array}{rcl} - - & R_{2} R_{1} & R_{3} R_{1} & B_{1} R_{1} & B_{2} R_{1} \\ R_{1} R_{2} & - - & R_{3} R_{2} & B_{1} R_{2} & B_{2} R_{2} \\ R_{1} R_{3} & R_{2} R_{3} & - - & B_{1} R_{3} & B_{2} R_{3} \\ R_{1} B_{1} & R_{2} B_{1} & R_{3} B_{1} & - - & B_{2} B_{1} \\ R_{1} B_{2} & R_{2} B_{2} & R_{3} B_{2} & B_{1} B_{2} & - - \end{array})

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supporter

supporter aktiv_icon

17:05 Uhr, 26.03.2020

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b)

P (B) =

P(rb)+P(bb)=

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

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Nick76

Nick76 aktiv_icon

17:15 Uhr, 26.03.2020

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Die berechnete Wahrscheinlichkeit

P (B)

bei

b)

stimmt nicht.
Du hast lediglich die Wahrscheinlichkeit für

B

unter der Bedingung, dass A eintritt
berechnet:

P (B | A)

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis

B

hängt davon ab, ob A eintritt oder nicht.
Man muss hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten arbeiten:

P (B) = P (B | A) \cdot P (A) + P (B | ~ A) \cdot P (~ A)

~ A

soll hier das komplementäre Ereignis zu A bezeichnen,

d . h

. im ersten Zug wird
keine rote Kugel gezogen.

Damit erhält man für

P (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}

Das Ereignis AB heißt, dass im 1.Zug eine rote und im 2.Zug eine blaue Kugel gezogen wird und berechnet sich zu: P(AB)

= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

P (A) \cdot P (B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{25} \Rightarrow

P(AB)

\neq P (A) \cdot P (B)

Frage beantwortet

Badabumm

Badabumm aktiv_icon

17:46 Uhr, 26.03.2020

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Perfekt, vielen lieben Dank! Das hat mir sehr geholfen

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