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Stetigkeit Gegenbeispiel

Universität / Fachhochschule

Tags: Topologie

Nina0 aktiv_icon

14:58 Uhr, 30.12.2013

Hallo Zusammen,

ich benötige Hilfe. Es soll gezeigt werden ob die folgende Aussage richtig oder falsch ist:

Hat die Abbildung

f : X \times X \to Y

die Eigenschaft, dass die Abbildungen

f (\cdot, x_{0}) : X \to Y,

f (x_{0}, \cdot) : X \to Y

für alle

x_{0} \in X

stetig sind, so ist auch

f

stetig.

Mein Versuch:

In eine Hausaufgaben Lösung für Physiker, war als Idee angegeben man könne mit:

(x, y) \mapsto \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}

für

0 \neq (x, y) \in ℝ^{2}

und

0 \to 0

arbeiten.

Meine Frage: Wie zeige ich das?

Danke euch schon mal für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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19:01 Uhr, 11.01.2014

Bei welchem Schritt hast du denn Probleme?

Nina0 aktiv_icon

19:24 Uhr, 11.01.2014

Schon beim ersten. Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass

f

unstetig ist im Ursprung, da

f (t; t) - f (0; 0) = 1

fur alle

t \neq 0

.

und das nur weil mir bewusst ist, dass der Nenner nicht 0 werden darf, da eine Division durch null nicht definiert ist.

Ansonsten weiß ich leider nicht wo ich ansetzen soll bzw. wie ich vorgehen soll. :-(

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19:28 Uhr, 11.01.2014

Was bezeichnest du denn jetzt als das "erste"? Und deine Gleichung stimmt nicht,

f (t, t) = \frac{1}{2}

für alle

t \neq 0

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19:30 Uhr, 11.01.2014

"als erste" meine ich den Beginn. Ich weiß nicht wie ich beginnen soll. :-(

Shipwater aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.01.2014

Es war doch schon ganz gut. Es gilt

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \to (0,0)

aber

f (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = \frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \neq 0 = f (0,0)

also ist

f

nicht stetig.

Nina0 aktiv_icon

19:47 Uhr, 11.01.2014

:-( Ich hoffe du nimmst es mir nicht übel... Aber ich muss zugeben das ich es nicht verstehe.

1/n geht gegen null, je größer n ist. aber f(x) geht gegen 1/2. aber wie oder wieso ist es somit bewiesen dass die Aussage nicht gilt? :-( Und wäre das genug um zu zeigen, dass die Aussage nicht gilt?

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19:57 Uhr, 11.01.2014

Schau dir das Folgenkriterium zur Stetigkeit an. Grob sagt das folgendes aus:

f

stetig in

(x_{0}, y_{0})

genau dann wenn für jede Folge

(x_{n}, y_{n})

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x_{0}, y_{0})

auch

f (x_{n}, y_{n}) \to f (x_{0}, y_{0})

gilt.
In deinem Beispiel ist

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) \to (0, 0)

aber

f (\frac{1}{n}, \frac{1}{n})

geht nicht gegen

f (0,0) = 0

(sondern gegen

\frac{1}{2})

und das widerlegt die Stetigkeit laut Folgenkriterium

Nina0 aktiv_icon

20:12 Uhr, 11.01.2014

ok, die Funktion ist an der Stelle (0,0) unstetig, obwohl

g_{y_{0}} (x) = g (x, y_{0})

und

g_{x_{0}} (y) = g (x_{0}, y)

für jedes

y_{0}

bzw.

x_{0}

stetige Funktionen einer reellen Variable sind.

So rum :-)

Shipwater aktiv_icon

21:45 Uhr, 11.01.2014

Genau.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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