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Stochastische Matrizen - Markovprozesse

Schüler Gymnasium,

Tags: Kugeln, Wahrscheinlichkeit

sirius22 aktiv_icon

13:54 Uhr, 29.10.2012

Hallo zusammen.

Meine Frage lautet:

Ein aus zwei Urnen mit jeweils drei Kugeln, von denen jeweils drei schwarz bzw. rot gefärbt sind, bestehendes Sysem befinde sich im Zustand Zk, wenn die erste Urne genau k schwarze Kugeln enthält (0≤ k ≤ 3). Der Zustand des Systems kann durch das folgende Zufallsexperiment verändert werden: Aus jeder Urne wird zufällig je eine Kugel gezogen und in die jeweils andere Urne gelegt; die gezogenen Kugeln werden also ausgetauscht.

a) Zeige, dass die Übergangsmatrix durch

A=
0 1 0 0
9 4 4 0
0 4 4 9
0 0 1 0

b) Das System werde im Zustand Zo gestartet. Bestimme den Zustandsvektor nach 8 Schritten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das System dann mehr im Zustand Zo?

Ich habe zuerst alle möglichen Zustände aufgelistet:

Urne 1
2/1
1/2
3/0
0/3

Urne 2
1/2
2/1
0/3
3/0

Dabei sind diese Zahlenwerte die roten bzw. schwarzen Kugeln.

Aber weiter bin ich nicht gekommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

15:35 Uhr, 29.10.2012

Dein erster Satz ist verwirrend. "...3 Kugeln, von denen jeweils 3 schwarz oder rot gefärbt sind". Meinst du 2 Urnen, in denen je 3 rote oder schwarze Kugeln stecken ? Sind es immer insgesamt

3 r

und

3 s

? Die Austauschregel impliziert, dass immer in jeder Urne 3 Kugeln vorhanden sind. Von daher würde ein Vektor

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

ausreichen,

d . h

x

schwarze in

U 1

und

y

schwarze in

U 2

. Du hast aber eine

4 x 4 -

Matrix ?

sirius22 aktiv_icon

18:41 Uhr, 29.10.2012

Ja, es sind also insgesamt 6 Kugeln vorhanden, die auf 2 Urnen verteilt sind.
Ich hatte es so verstanden, dass die Farben zufällig gemischt sind, doch wenn ich die Aufgabe noch einmal lese haben Sie Recht. Die Farben im Zo müssten getrennt sein.

Doch schon nach dem ersten Ziehen mischen sich die Kugelfarben.

Ich weiss nicht, wieso in der Aufgaben eine 4x4 Matrix vorhanden ist.
Könnte es sein, weil man bis zum gesamten Kugelaustausch mindestens 4 mal ziehen muss?

3/0
2/1
1/2
0/3

prodomo aktiv_icon

09:05 Uhr, 30.10.2012

Am besten stellst du einfach den Originalaufgabentext hier ein.

sirius22 aktiv_icon

17:09 Uhr, 30.10.2012

Es ist der Originaltext. Ich habe nichts daran geändert.

prodomo aktiv_icon

10:56 Uhr, 31.10.2012

Selbst wenn man davon ausgeht, dass nicht

3

in jeder Urne sind, reicht ein Zustandsvektor mit

r

roten,

s

schwarzen und

n + s

insgesamt aus. Die

4 x 4

Matrix kann ich nicht nachvollziehen ....Mit 4 Zügen hat das gar nichts zu tun.

Matlog aktiv_icon

11:56 Uhr, 31.10.2012

In jeder Urne befinden sich drei Kugeln. Von den insgesamt 6 Kugeln sind 3 schwarz und 3 rot.

Der Zustand des Systems kann bereits mit einer Zahl beschrieben werden, nämlich (hier) der Zahl

k

der schwarzen Kugeln in der ersten Urne.
Es gibt also 4 Zustände

Z_{k}

des Systems:

Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}

und

Z_{3}

(Z_{2}

bedeuted beispielsweise 2 schwarze und eine rote in der ersten, 1 schwarze und 2 rote in der zweiten Urne.)

Für diese 4 Zustände beschreibt eine

4 x 4

Matrix den Übergang auf den nächsten Zustand nach einem Austausch jeweils einer Kugel. (In der Matrix oben "von" und links "nach", wie üblich bei Übergangsmatrizen.)

Also

A = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{9} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{4}{9} & \frac{4}{9} & 0 \\ 0 & \frac{4}{9} & \frac{4}{9} & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{9} & 0 \end{matrix})

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten in der Matrix kannst Du Dir leicht überlegen.
Beispiel: wir befinden uns in Zustand

Z_{1}

(zweite Spalte der Matrix), also

1 s, 2 r

in der ersten,

2 s, 1 r

in der zweiten. Mit W.keit

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}

wird in der ersten Urne die schwarze und in der zweiten die rote Kugel gezogen und nach Austausch landen wir in Zustand

Z_{0}

. Mit W.keit

\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}

werden gleichfarbige Kugeln gezogen und wir bleiben in Zustand

Z_{1}, . .

.

Teil

b) :

Hier wird mit Zustand

Z_{0}

gestartet, also Vektor

z_{0} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Dann ergibt

A \cdot z_{0} = z_{1}

den Zustandsvektor nach einem Austausch,

A \cdot z_{1} = z_{2}

den Zustandsvekror nach dem zweiten Austausch usw.
Alternativ kannst Du auch

A^{8} \cdot z_{0} = z_{8}

rechnen.

Zur Kontrolle:
Für

z_{8}

ergibt sich ungefähr

(\begin{matrix} 0,05 \\ 0,45 \\ 0,45 \\ 0,05 \end{matrix}),

was einer stabilen Verteilung entspricht.
(Nach achtfachem Austausch also

5 %

W.keit für

Z_{0}

bzw.

Z_{3}, 45 %

W.keit für

Z_{1}

bzw.

Z_{2} .)

sirius22 aktiv_icon

17:49 Uhr, 31.10.2012

@ Matlog

Danke sehr für die ausführliche und verständliche Antwort. Nun komme ich mehr oder weniger draus.

@ prodomo

Ihnen danke ich ebenfalls.

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