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Stochastische Unabhängigkeit

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Interpretation benötigt, Prüfen

Stefsn aktiv_icon

00:36 Uhr, 09.06.2026

Liebe Mathe-Community,

ich habe eine Frage zur stochastischen Unabhängigkeit, konkret: Wie verlässlich sind die Kriterien zur Prüfung.

Der Literatur kann man entnehmen, dass stochastische Unabhängigkeit zwischen zwei Ereignissen vorliegt, wenn eines folgender Kriterien erfüllt wird:

i)

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

ii)

P_{A} (B) = P (B)

iii)

P_{A} (B) = P_{\bar{A}} (B)

In einer Aufgabe sollte die stochastische Unabhängigkeit hinsichtlich des Tragens einer Brille (B: Brillenträger) und dem Geschlecht (M: Mädchen) untersucht werden.
Folgende Angaben waren gegeben:
Eine Schule wird von 1.036 Schülern besucht, 560 Jungen und 476 Mädchen. 125 Jungen und 105 Mädchen tragen eine Brille.
Prüfen Sie, ob das Tragen einer Brille vom Geschlecht abhängig ist.

Nach kurzer Rechnung ergibt sich:

P (M) = 0, 460

P (B) = 0, 222

P_{M} (B) = 0, 221

P_{\bar{M}} (B) = 0, 223

P (M \cap B) = 0, 102

Man prüft schnell:
i) erfüllt, denn

P (M \cap B) = 0, 460 \cdot 0, 222 \approx 0, 102

.
ii) erfüllt, denn

P_{M} (B) \approx P (B)

.
iii) erfüllt, denn

P_{M} (B) \approx P_{\bar{M}} (B)

.

Jetzt kommt jedoch folgende Anpassung der Werte:
Eine Schule wird von 548 Schülern besucht, 72 Jungen und 476 Mädchen. 12 Jungen und 105 Mädchen tragen eine Brille.
Prüfen Sie, ob das Tragen einer Brille vom Geschlecht abhängig ist. Die Stichprobe ist nun sehr unausgeglichen. Für die Berechnungen wie oben ergeben sich erneut folgende Werte:

P (M) = 0, 869

P (B) = 0, 214

P_{M} (B) = 0, 221

P_{\bar{M}} (B) = 0, 167

P (M \cap B) = 0, 192

Wenn man nun die Kriterien prüft, ergeben sich folgende Aussagen:
i) fast erfüllt, denn

P (M \cap B) = 0, 869 \cdot 0, 214 \approx 0, 186

.
ii) fast erfüllt, denn

P_{M} (B) \approx P (B)

.
iii) nicht erfüllt, denn

P_{M} (B) \neq P_{\bar{M}} (B)

.

Zusammengefasst:
Wenn jemand lediglich das Kriterium iii) prüft, so erhält derjenige den Eindruck, dass die Ereignisse M und B stochastisch abhängig sind. Hingegen zeigen i) und ii) keine signifikante Abweichung.
Wie kann man dieses Ergebnis nun valide Interpretieren, gibt es ein Maß der zulässigen Abweichung oder einen Koeffizienten der Stichprobengröße?

Würde mich über Hilfe sehr freuen!

Gruß
Stefan

Randolph Esser aktiv_icon

05:48 Uhr, 09.06.2026

Hallo Stefan,

Deine drei Bedingungen sind äquivalent.

Entweder gelten alle drei oder alle drei nicht.

Du brauchst also nur eine anzuwenden,

aber die dann bitte exakt.

Für die erste Aufgabe,

(\begin{matrix} M & \bar{M} \\ B & 105 & 125 & 230 \\ \bar{B} & 371 & 435 & 806 \\ 476 & 560 & 1036 \end{matrix}),

habe ich

P (M) P (B) = \frac{476 \cdot 230}{1036^{2}} = \frac{1955}{19166} \neq \frac{105}{1036} = P (M \cap B)

.

Also sind

M

und

B

nicht stochastisch unabhängig.

Und

z . B

. gilt nun auch

P_{M} (B) = \frac{P (M \cap B)}{P (M)} \neq \frac{P (M) P (B)}{P (M)} = P (B)

sowie

P_{M} (B) P (\bar{M}) = P_{M} (B) (1 - P (M)) = P_{M} (B) - P_{M} (B) P (M)

\neq P (B) - P_{M} (B) P (M) = P_{\bar{M}} (B) P (\bar{M})

\Leftrightarrow

P_{M} (B) \neq P_{\bar{M}} (B),

usw...

Für die zweite Aufgabe,

(\begin{matrix} M & \bar{M} \\ B & 105 & 12 & 117 \\ \bar{B} & 371 & 60 & 431 \\ 476 & 72 & 548 \end{matrix}),

habe ich

P (M) P (B) = \frac{476 \cdot 117}{548^{2}} = \frac{13923}{75076} \neq \frac{105}{548} = P (M \cap B)

.

Also sind

M

und

B

auch hier nicht stochastisch unabhängig.

Dass das dritte Kriterium hier so "besonders ungleich" ist,

liegt an den wenigen Jungs, salopp gesagt.

Nimm

z . B

. mal

101

Schüler,

100

Mädchen, 1 Junge,

der Junge und

50

der Mädchen mit Brille.

Dann hast Du

P (B) = \frac{51}{101}

und

P_{M} (B) = \frac{50}{101} / (\frac{100}{101}) = \frac{50}{100},

also fast gleich, aber

P_{\bar{M}} (B) = 1

krass ungleich

P_{M} (B)

Stefsn aktiv_icon

06:27 Uhr, 09.06.2026

Hey Randolph!

Danke für deine Antwort. Aber da es sich doch hier um absolute Werte handelt, muss doch ein kleines Runden erlaubt sein, ansonsten würde man doch i.d. R. niemals eine stochastische Unabhängigkei terhalten.

105 / 1.036 \approx 0, 10135

und

\frac{230 \cdot 476}{1.036 ²} \approx 0, 10200

Das ist ja "nur" eine Abweichung von

0, 1

%, und das bei absoluten Werten. Das müsste man im Sachkontext als identisch ansehen.

Gleiches auch bei den anderen beiden Werten in der ersten Aufgabe.

In der zweiten Aufgabe:

Auch hier sind die Werte für absolute Werte in ii) ziemlich nahe beieinander mit

P (B) \approx 0, 214

und

P_{M} (B) \approx 0, 221

. Also für absolute Werte und in dem Sachkontext würde ich in jedem Fall für stochastische Unabhängigkeit plädieren, wenn ich das zweite Kriterium heranziehen würde. Ich persönlich würde ja auch nie alle drei untersuchen.

Vielleicht hast du noch eine andere Idee?

Gruß
Stefan

Randolph Esser aktiv_icon

07:13 Uhr, 09.06.2026

Das ist keine "Idee" von mir, sondern Mathematik.
Es muss Gleichheit herrschen,
andernfalls besteht keine stochastische Unabhängigkeit.

Du hast es da oben mit äußerst robusten,
überschaubaren rationalen Zahlen zu tun.
Du kannst nicht einfach hingehen und die als
dezimale Fließkommazahlen ein bisschen
zurechtstutzen und dann sagen "passt".
Das ist grob fahrlässig und falsch.

Die Kriterien sind äquivalent,
das habe ich oben versucht vorzuleben,
was aber an Dir abzuperlen scheint.
Entweder alle drei stimmen exakt
oder alle drei stimmen nicht.

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