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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Es geht um Fussball

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Fussball, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

Josi36 aktiv_icon

22:16 Uhr, 20.01.2010

Hallo :-)
Brauche dringend Hilfe in Stochastik bzw. Wahrscheinlichketsrechnung, da ich die Aufgabe an der Tafel Vortragen muss. Die Aufgabenteile

a)

und

b)

waren kein Problem aber

c)

macht mir echt Stress. Ich hab auch schon andere gefragt, aber die geben gegenteilige Aussagen:

50 %, 30 %

etc. Deswegen wollte ich hier auf Nummer sicher gehen ;-)

Hier also die Aufgabe:

Sven und Björn üben Elfmeterschiessen, wobei Björn mit

60 %

Wahrscheinlichkeit trifft und Sven nur mit

40 % .

Die Elfmeter werden abwechselnd geschossen, wobei Sven beginnen darf und jeder insgesamt höchstens zweimal schießt. Es gewinnt derjenige, welcher den ersten Treffer erzielt.

a)

Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit der beiden Spieler (meine Lösung: Sven

49.6 %;

Björn

44.64 %)

b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht das Spiel unentschieden aus?

und nun das Problem:

c)

Würde FABIAN (?!sic) anstelle on Sven spielen, so hätten beide Spieler die gleiche Gewinnchance. Welche Trefferwahrscheinlichkeit

p

hat Fabian?

Irgendwie versteh ich die Frage nicht.
Ein Rechnungsansatz mit Formel wäre toll. Eine Musterlösung wäre Der Himmel auf Erden

^_{^}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

kalli

22:29 Uhr, 20.01.2010

Diese Aufgabe löst Du am besten über einen WK Baum.
Die Gewinn WK von Fabian ist unbekannt, also

P

Du machst einen 4 stufigen Baum.
Stufe 1: erster Schuß von

F

Stufe 2: erster Schuß von

B

Stufe 3 und 4 die zweiten Schüsse.
Bei Treffer kannst Du abbrechen (unvollständiger Baum).
Dann gehst Du den Baum entlang und schaust, in welchen Fällen

F

gewonnen hat und in welchen

B

gewonnen hat.
Mit der Bedingung, dass beide die gleiche Gewinn-WK haben sollen, kannst Du dann

p

bestimmen.

Josi36 aktiv_icon

23:22 Uhr, 20.01.2010

Meinst du sowas? (siehe Skizze)

Aber verwechselst du da nicht die Gewinn- und Trefferwahrscheinlichkeit?

ich hab da schon rumprobiert, aber komme einfach nicht auf die lösung...

Siguras aktiv_icon

23:22 Uhr, 20.01.2010

Die Rechnung ist hier ziehmlich simpel. Wenn sie die gleiche Wahrscheinlichkeit nach dem ersten Schuss haben, dann wird das auch im 2. so sein. Also reicht dir eine kleine Rechnung. Die Wahrscheinlichkeit, die du wissen willst nennst du

x

und die muss gleich der Wahrscheinlichkeit, dass

1 - x

(also, die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht trifft) mal

0.6

(dass Björn trifft).
Also:

x = (1 - x) 0,6

Klammer auflösen:

x = 0,6 - 0.6 x

x

nach links:

1.6 x = 0,6

Durch

1.6

x = 0.375

In Prozent sind das sind dann

37,5 %

:-)

Nochmal kurz gefasst was da gerechnet wird:
Wir brauchen nur den Wert, mit dem nach dem ersten Schuss beide gleich große Chancen haben zu gewinnen (die ist auch nach 10Schüssen nicht anders, die Wahrscheinlichkeit, dass einer erst nach

10

Schüssen gewinnt ist für beide gleich gering!).

x

ist die Wahrcheinlichkeit, die wir suchen. die muss so groß sein, wie die Wahrscheinlichkeit, dass Björn nach dem ersten Schuss gewonnen hat (also nicht

60 %)

x = (1 - x)

mal

0.6

Ich hoffe das ist verständlich.

Josi36 aktiv_icon

23:28 Uhr, 20.01.2010

Das klingt ja sehr plausibel, tausend dank schonmal!!!

\land

Aber noch eine Frage zu deiner Rechnung: Inwiefern fliesst denn die in der Aufgabe

c)

gegebene

5050

Gewinnchance von Fabian und Björn mit ein?

Siguras aktiv_icon

23:36 Uhr, 20.01.2010

Schau dir nochmal die Aufgabe kurz an, da ist nicht die Rede von

50 : 50

oder

50 %

. Es geht hier um die gleiche Gewinnchance! Das Spiel kann ja auch Unentschieden ausgehen, wenn beide

50 %

der Spiele gewinnen würden, bleibt ja kein % mehr für das Unentschieden ;-)

37,5 %

jeweils hat einer, das Spiel nach dem ersten Schuss zu gewinnen.

9,375 %

das Spiel nach dem 2. Schuss zu gewinnen. Das gilt für beide Spieler! Also alles doppelt:

37.5 + 37.5 + 9,375 + 9.375 = 93,75 %

Dass überhaupt jemand gewinnt. Der Rest geht ans Unentschieden.

Alles klaro? ;-)

Josi36 aktiv_icon

23:49 Uhr, 20.01.2010

Ich denke, dass stellt es klar. Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!!! :-)

: - \cdot

stas262 aktiv_icon

17:26 Uhr, 02.05.2013

Hallo Siguras,
ist bestimmt ne weile her, dass du diese aufgabe gelöst hast, aber ich bin jetzt auch an den punkt gekommen, wo ich die aufgabe

c)

nicht lösen kann. Dein Lösungsansatz hört sich zwar gut an, ist aber, glaube ich, falsch, da du die trefferwahrscheinlichkeit mit der wahrscheinlichkeit gleich gesetzt hast (also: x=(1-x)*0,6...es müsste aber so sein P=(1-x)*0,6..wenn überhaupt)

P

kennen wir, da gewinnchance fabian=björn mit

0,4464

- \to

mein ansatz nun

x + (1 - x) \cdot 0,4 \cdot x = 0,4464

so, und nun die frage: Wie rechne ich

x

aus?

Siguras aktiv_icon

17:43 Uhr, 02.05.2013

Die Gewinnchancen ändern sich, wenn Fabian schießt, es geht hier nur darum, dass beide die gleichen Chancen haben.

Rechne mal nach, Fabian hätte nach meiner Rechnung ja 37,5% Gewinnchance, Björn hat dann:

0,625 * 0,6 = 0,375 --> 37,5% --> gleiche Chancen

stas262 aktiv_icon

18:02 Uhr, 02.05.2013

Ok, ich habe gedacht das sich das "gleiche" darauf bezieht, dass es

0,4464

bleiben.
Aber ich verstehe immer noch nicht, wie du es so ausrechnen konntest.

: S

Du gehst doch dem Pfad

(F

trifft nicht mal

B

trifft) entlang und meiner Meinung nach kann man die Pfadwahrscheinlichkeit nicht mit der Trefferwahrscheinlichkeit gleichsetzen. Es wäre doch so:

P (E) = (1 - x) \cdot 0,6

Siguras aktiv_icon

18:27 Uhr, 02.05.2013

Es gibt 2 Pfade, die man hier beachten muss, wobei einer kein Pfad sondern die erste Trefferwahrscheinlichkeit ist. Trefferwahrscheinlichkeit von 2 ist gegeben mit 60%, Trefferwahrscheinlichkeit 1 ist zu ermitteln. Es steht fest, dass beide gleiche Gewinnchancen haben sollen, es ist also Gleichsetzen angesagt.
Pfad 1 (Fabian gewinnt) = Pfad 2 (der andere gewinnt)
X (wenn Fabian trifft hat er ja schon gewonnen) = (1-x) * 0.6 (Fabi trifft nicht, Spieler 2 trifft)

Sorry bin in der Bahn und weiß nicht mehr wie der andere heißt...

stas262 aktiv_icon

18:33 Uhr, 02.05.2013

achsooooo, ja klar!!!
jetzt versteh ich was du gemacht hast :-)
Nur zur Vervollständigung: Der 1. pfad ist die pfadwahrscheinlichkeit, aber auch zugleich die trefferwahrscheinlichkeit.
Mensch, hatte nicht mehr den Durchblick. Tausend Dank!

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