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Störfunktion aus "Wertetabelle"

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Stoerfunktion, vierte Ableitung

joshu aktiv_icon

16:54 Uhr, 19.11.2014

Hallo Forianer,

zur Lösung einer DGL (allg. gewöhnliche

[

inhomogene] DGL vierter Ordnung) sind verschiedene Störfunktionen bekannt, die mir Kopfzerbrechen bereiten, vor allem die in angehängten Bild dargestellte.

Mir steht hier eine "Wertetabelle" zur Verfügung, die folgendermaßen aufgebaut ist:

t = {0, 1, 2, 3, 3.01, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 14.01, 15, . .

}

σ = {0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0.8, 0.8, . .

}

. .

. allerdings weiß ich nicht, wie ich diese zum (numerischen Lösen) der DGL verwenden kann/soll, da neben

σ

auch

\frac{d σ}{d t}, \frac{d^{2} σ}{d t^{2}}, \frac{d^{3} σ}{d t^{3}}, \frac{d^{4} σ}{d t^{4}}

auftreten und ich keine Ahnung habe, wie ich das aus dieser Tabelle bestimmen soll; wahrscheinlich ergeben sich durchaus einige Ableitungen notwendigerweise zu Null; aber gerade was an den "Sprungstellen" passiert ist mir nicht wirklich klar

. .

.

Als numerischen Löser beabsichtige ich "ode45" oder "ode23s" aus Matlab

. .

.

LG

ledum aktiv_icon

23:06 Uhr, 19.11.2014

Hallo

a)

du musst die Sprungstellen durch mindestens 4 mal differenzierbare Funktionen glätten.

b)

du löst die Dgl nur stückweise, mit allen Ableitungen 0
ich denke was besseres kann man mit der springenden " Funktion nicht tun, es sei denn, dass man etwa über den Übergangsbereich aus physikalischen Überlegungen rauskriegen kann

(

in der Physik gibt es praktisch keine Änderungen in 0 Zeit, selbst einschalten eines Stroms mit einem Schalter geht stetig, bestimmt durch

R . C

und

L

des Objekts+Zuleitung

+

Schalter
Gruß ledum

joshu aktiv_icon

17:28 Uhr, 20.11.2014

Hallo ledum,

danke schon einmal für deine Antwort. Ich werde mich für "Variante"

b .)

entscheiden, weil ich die gesamte DGL, auf die diese Störfunktion einwirkt, für jeden Zeitschritt

t_{i}

bis

t_{i + 1}

etc. lösen werde und der Sprung nie innerhalb eines Zeitschritts passieren wird und innerhalb eines Zeitschrittes die Einwirkung

u (t)

näherungsweise ebenfalls konstant betrachtet wird.

Eine Zusatzfrage bleibt mir noch:

Die oben dargestellte Störfunktion wirkt als

u (t)

in folgender DGL:

p_{0} \cdot y (t) + p_{1} \cdot y' (t) + p_{2} \cdot y'' (t) + p_{3} \cdot y''' (t) + p_{4} \cdot y'''' (t) =

q_{0} \cdot u (t) + q_{1} \cdot u' (t) + q_{2} \cdot u'' (t) + q_{3} \cdot u''' (t) + q_{4} \cdot u'''' (t)

Die Parameter

p_{i}

und

q_{i}

sind selbst zeitabhängig. Ich betrachte aber diskrete Zeitschritte und unterstelle, dass diese genügend klein sind, sodass innerhalb eines Zeitschrittes diese Parameter konstant bleiben. (Das Ganze soll zunächst eine Art "analytische" Näherung einer später folgenden numerischen Berechnung sein.)

Für den Zeitschritt

t_{0} = 0

bis

t_{1} > t_{0}

gilt als Ausgangszustand zum Zeitpunkt

t_{0} = 0 :

\cdot

keine Vorbelastung bis

t_{0} = 0

\cdot

bei

t = 0

ist

u (t) = 0

und

y (t) = 0

und auch

\frac{d^{i} y}{d t^{i}} = 0

bzw.

\frac{d^{i} u}{d t^{i}} = 0

\cdot

für alle Zeitpunkte

t_{i}

gilt

t_{i} \geq 0

Von

t_{0} = 0

bis zu einem beliebigen - hinreichend kleinen - Zeitpunkt

t_{1}

lässt sich diese DGL einigermaßen gut mittels Laplace-Transformation lösen und liefert zum Zeitpunkt

t_{1}

ein entsprechendes

y (t_{1}) = y_{1}

für eine in diesem Zeitschritt wirkende Belastung

u_{1}

.

Nun meine Frage:

wenn ich nun die Sache zeitdiskret weiterbetrachte, dann ergibt sich für den Zeitschritt

t_{1}

bis

t_{2}

ein Anfangswertproblem:

u (t_{1}) = u_{1}

u' (t_{1}) = u'' (t_{1}) = u''' (t_{1}) = u'''' (t_{1}) = 0

y (t_{1}) = y_{1}

y' (t_{1}) = y'' (t_{1}) = y''' (t_{1}) = y'''' (t_{1}) = 0

Ist dieser Gedankengang 'richtig', für die Annahme, dass wiederum innerhalb des folgenden Zeitschrittes sämtliche Parameter

q_{i}

und

p_{i}

konstant sowie auch die einwirkende Belastung

u_{i}

?

Mir ist schon klar, dass diese "analytische" Lösung aus einer zeitdiskreten Betrachtung - wenn überhaupt - nur eine sehr sehr grobe Näherung darstellt; aber für Vergleichszwecke wäre sie dennoch interessant.

Vor allem aber resultiert aus dem genannten Anfangswertproblem eine recht unhandliche Gleichung in der Laplace-Ebene

. .

. und bevor ich mich hier an die Partialbruchzerlegung(en) mache, wollte ich nur rückfragen, in der Hoffnung, dass jemand weiterhelfen kann

. .

.

Danke im Voraus,
joshu

ledum aktiv_icon

00:18 Uhr, 21.11.2014

Hallo
wieso sollen im 2 ten Zeitschritt alle Ableitungen der

y 0 s

ein die sollten sich doch auch aus dem 1. Zeitschritt ergeben, da du ja wohl in ein System von 4 Dgl erster Ordnung umwandelst. ?
Gruß ledum.

joshu aktiv_icon

10:33 Uhr, 21.11.2014

Hallo ledum,

das stimmt natürlich. - Das ist mir ein Copy-Paste-Fehler passiert; die Anfangswerte der

y

und

y^{n}

eines jeden neuen Zeitschrittanfangs sind immer die Endwerte des vorhergehenden.

Ein Problem habe ich nur noch mit den Sprungstellen. Ich weiß zwar, dass die gesuchten

y

an jenen Stellen, wo

u

'springt' auch springen müssen; aber über die Anfangswerte der Ableitungen ist mir (noch) nichts bekannt

. .

. vielleicht muss ich hier tatsächlich irgendwelche physikalischen Überlegungen anstellen.

LG
joshu

ledum aktiv_icon

18:01 Uhr, 21.11.2014

Hallo
wenn du bis zu den Sprungstellen

x

berechnet hast, dann hast du dort auch die Anfangswerte, nur

u

springt und mit den Anfangswerten von

y

und den neuen

u

werten ergeben sich die nächsten Schritte.
dass die ableitungen,

d . h

. die dgl auf der rechten Seite unstetig ist, heisst ja nicht, dass

y

auch unstetig sin muss. einfachstes Beispiel ist

y' =

Treppenfunktion,

y

ist stetig also wenn

y' = u

mit deinem wäre

y

stetig.
Gruss ledum.

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