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Störfunktion: x+x^3 was ist der Ansatz?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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17:21 Uhr, 21.07.2010

geg.:

y'' + 4 \cdot y' = x + x^{3}

ich habe die Aufgabe schonmal gerechnet und nun vergessen, was ich damals gemacht habe.

erstienmal die Lösung der homogenen Gleichung:

y_{0} = C_{1} \cdot e^{- 4 \cdot x}

Nun der Anatz für die Störfunktion:

y_{p} = A \cdot x^{3} + B \cdot x

y'_{p} = 3 \cdot A \cdot x^{2} \cdot B

y''_{p} = 6 \cdot A \cdot x

das nun einsetzen in die inhomogene Gleichung

\to

Koeffizienten vergleich
aber ich komme auf kein Ergebnis. Vermutlich ist mein Ansatz falsch. Ich steh gerade aufn Schlauch, dabei scheint die Stöfunktion noch simpel zu sein.

Lösung muss so aussehen:

y (x) = - \frac{1}{4} c_{1} e^{- 4 x} + c_{2} + \frac{1}{128} x (8 x^{3} - 8 x^{2} + 22 x - 11)

scheinbar hab ich auch die

y_{h}

homogen falsch. Vor der Konstante

C

kommt nach

- \frac{1}{4}

aber warum?

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17:31 Uhr, 21.07.2010

ich glaub ich muss meinen Ansatz mal

x

nehmen, da a ungleich 0 und

b

gleich 0 ist. Ich melde mich noch mal in wenigen Minuten

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17:41 Uhr, 21.07.2010

Bei yh fehlt bei dir die null als zweite Nullstelle denn t²+4t=0 <=> t=0 oder t=-4
Bei yp musst du etwas mit Ax^4 nehmen da sonst auf der linken Seite der DGL niemals etwas mit x³ entstehen kann, da nur y' und y'' aber nicht y auftaucht.

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18:07 Uhr, 21.07.2010

ok, ich habe das

+ c

vergessen in meiner homogenen Gleichung!
mal ne Zwischenfrage:

ich habe nun

y_{0} = c_{2} + c_{1} e^{- 4 x}

als homogene Lösung. Da

e^{0} = 1

ist steht da nur

c_{2}

Wolphram rechnet mir vor dem

c_{1}

noch ein

- \frac{1}{4}

und das verstehe ich überhaupt nicht oO
also so:

y (x) = c_{2} - \frac{1}{4} c_{1} e^{- 4 x}

oder kann man einfach die konstante

c

als

- \frac{1}{4} c

definieren? Aber warum sollte man das machen?

Bei meinen Anatz für die Störfunktion rechne ich nun so:

y_{p} = x \cdot (A \cdot x^{3} + B \cdot x^{2} + C \cdot x + D)

das müsste richtig sein. Mal sehen

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18:13 Uhr, 21.07.2010

Klammer dich nicht zu sehr an diese ganzen CAS, die benutzen bestimmte Algorithmen und daher ist es Gang und Gebe, dass etwas scheinbar anders umgeformt ist.
Wegen der Konstanten c1 spielt es im Prinzip keine Rolle wenn da dann noch ein Faktor (wie hier -1/4) davor steht, denn wie du sagtest ist ja dann -1/4c1 dann weiterhin irgendeine Konstante und nur das ist entscheidend für den homogenen Ansatz.

Schreibe yp lieber als Summe sonst wird es nur unnötig kompliziert wenn du jetzt die Produktregel anwendest (einfach ein allgemeines Polynom 4. Grades)

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18:39 Uhr, 21.07.2010

Danke, ja das Problem mit CAS Systemen habe ich öfters festgestellt und lass mich hin und wieder davon irritieren.

Ich habe nun das richitge Ergebnis. Mein erster Anatz für die partikuläre Lösung vom 1. Beitrag ist natürlich Blödsinn. Man nehme den Anatz von mein vorletzen Post.

Frage beantwortet :-D)

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