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Stone-Weierstrass
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: dicht, Funktion, kompakt, Topologie
 
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Seien X, Y zwei kompakte topologische Räume, und seien und zwei punktetrennende und nirgends verschwindende Algebren. Zeigen Sie, dass dann die Menge aller Funktionen der Bauart mit dicht in ist. Sie durfen dabei annehmen, dass versehen mit der Produkttopologie kompakt ist. Zeigen Sie damit, dass die Menge aller reellen Polynome in zwei Variablen betrachtet als Funktionen auf einem Rechteck dicht in ist. Für den ersten Teil kann man den Satz von Stone-Weierstraß verwenden. . Dass kompakt ist wurde schon in der Angabe gesagt. Die Funktionen aus A* sind alle stetig. A* ist eine Algebra. Die Linearität und dass mit auch gilt folgt schon daraus, dass A und B Algebren sind. Zu zeigen ist also noch, dass A* punktetrennend und nirgends verschwindend ( ) ist. und . Da h nur aus Summen und Produkten besteht, ist auch . Bei punktetrennend bin ich mir nicht so sicher... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Vielleicht könnte man für punktetrennend ein f so wählen, dass wenn auch und dass f sonst den Wert 0 hat, ich weiß aber nicht, ob man das darf, da wir von f nur wissen, dass es punktetrennend und nirgends verschwindend sein muss... |
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Vielleicht könnte man für punktetrennend ein f so wählen, dass wenn auch und dass f sonst den Wert 0 hat, ich weiß aber nicht, ob man das darf, da wir von f nur wissen, dass es punktetrennend und nirgends verschwindend sein muss... |
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Ok, ich habe es jetzt (hoffentlich) hinbekommen. |
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