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Stoppzeit beweisen

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Sonstiges

Zufallsvariablen

Tags: Sonstig, Zufallsvariablen

 
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Isaaabellll

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11:04 Uhr, 14.09.2020

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Hallo,

wie kann ich folgende Behauptung beweisen?

wir werfen eine faire Münze. Sei kn=k~n-zn die Differenz zwischen der Anzahl der Köpfe und der Anzahl der Zahlen in n Würfen und sei m die Anzahl für mehr Köpfe als Zahlen. Wir stoppen unser Spiel, falls die Anzahl der Köpfe zuerst die Anzahl der Zahlen übersteigt, d.h. τ=min{nm=1}.
Zeige, dass τ eine Stoppzeit ist.

Vielen Dank


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

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11:10 Uhr, 14.09.2020

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Definition der Stoppzeit in diesem Fall?
Isaaabellll

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12:54 Uhr, 14.09.2020

Antworten
Für einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,(n)n0,,) heißt eine Zufallsvariable τ:Ω0{} Stoppzeit, falls
{τ=n}={ωΩτ(ω)=n}n für alle n0
Antwort
DrBoogie

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12:58 Uhr, 14.09.2020

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Ja, das kenne ich. Aber was für die Filtrierung haben wir hier?
Isaaabellll

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13:40 Uhr, 14.09.2020

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die ganz normale Fitrierung, die von den jeweiligen Münzwürfen erzeugt wird?? Die Frage verstehe ich jetzt nicht ganz?
Antwort
DrBoogie

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13:45 Uhr, 14.09.2020

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Eine Filtrierung ist bekanntlich eine Familie von σ-Algebren.
Kannst du aufschreiben, wie diese σ-Algebren in diesem Fall aussehen?
Antwort
DrBoogie

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14:33 Uhr, 14.09.2020

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Wenn man Xi so definiert: Xi=1 wenn Kopf bem i-ten Wurf und sonst Xi=-1, dann kann das Ereignis {τ=2k+1} als der Schnitt der Ereignisse X0<0, X0+X1+X2<0,...,X0+...+X2k-1<0 und X0+...+X2k+1=1 geschrieben werden.
(Ich schreibe 2k+1 statt n, weil die Anzahl der Köpfe zuerst die Anzahl der Zahlen nur beim ungeraden Wurf übersteigen kann.)
Isaaabellll

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16:16 Uhr, 14.09.2020

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Also die Zufallsvariablen sind X1,...Xn mit jeweis Werten in {0,1}, wobei Xi=0 das Werfen einer Zahl und Xi=1 das Werfen von Kopf bedeuten soll. Die zugrundeliegende σ-Algebra ist die von X1,...,Xi erzeugte σ-Algebra, also i=σ(X1,...,Xi) mit i=1,...,n
Meine Frage ist nun, wie ich zeigen kann, dass unter der obigen Notation, τ=min{nm=1} eine Stoppzeit ist.

In deiner Notation verwirrt mich dein k ein wenig, da es oben anders definiert wurde.
Antwort
DrBoogie

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16:43 Uhr, 14.09.2020

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Das mit n=2k+1 war auch falsch, ich habe nicht aufgepasst, dass bei euch die Variablen mit X0 beginnen und nicht mit X1. Damit kann man zwar nur nach der ungeraden Anzahl der Würfe
zuerst mehr Köpfe als Zahlen haben, aber der ungeraden Anzahl der Würfe entspricht ein gerades n. Somit hat n zwangsläufig die Form 2k. Aber du kannst natürlich auch n stehen lassen.

Wenn du Xi so definierst, muss man die Ereignisse etwas anders schreiben (meine Xi sind etwas einfacher zu behandeln). Und zwar ist {τ=n} der Durchschnitt der Ereignisse X0=0, X0+X1+X21, X0+X1+...+X42,..., X0+...+Xn-2n-22 und X0+...+Xn=n2+1. Diese Ereignisse liegen alle offensichtlich in Fn, damit ist alles bewiesen.

Isaaabellll

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17:05 Uhr, 16.09.2020

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Vielen Dank für deinen Beweisvorschlag.
Müsste aber nicht X0=0,X0+X1+X22,X0+X1+...+X43,... sein?
Antwort
DrBoogie

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17:14 Uhr, 16.09.2020

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Ich hab schon geschrieben, dass n=2k+1 falsch ist, richtig ist n=2k, weil n gerade ist. Ich hab auch geschrieben, warum. Was konkret verstehst du denn nicht?

Isaaabellll

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17:17 Uhr, 16.09.2020

Antworten
Müsste aber nicht X0=0,X0+X1+X22,X0+X1+...+X43,... sein?

Antwort
DrBoogie

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17:20 Uhr, 16.09.2020

Antworten
Wenn X0+X1+X2+X3+X4=3, dann bedeutet dass, dass wir schon jetzt mehr Köpfe als Zahlen haben. Nämlich 3 Köpfe und 2 Zahlen. Das darf aber nur im letzten Schritt passieren.
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

17:21 Uhr, 16.09.2020

Antworten
alles klar, vielen Dank. Jetzt ist alles klar.