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Hallo,
wie kann ich folgende Behauptung beweisen?
wir werfen eine faire Münze. Sei die Differenz zwischen der Anzahl der Köpfe und der Anzahl der Zahlen in Würfen und sei die Anzahl für mehr Köpfe als Zahlen. Wir stoppen unser Spiel, falls die Anzahl der Köpfe zuerst die Anzahl der Zahlen übersteigt, d.h. . Zeige, dass eine Stoppzeit ist.
Vielen Dank
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Definition der Stoppzeit in diesem Fall?
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Für einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum heißt eine Zufallsvariable Stoppzeit, falls für alle
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Ja, das kenne ich. Aber was für die Filtrierung haben wir hier?
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die ganz normale Fitrierung, die von den jeweiligen Münzwürfen erzeugt wird?? Die Frage verstehe ich jetzt nicht ganz?
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Eine Filtrierung ist bekanntlich eine Familie von -Algebren. Kannst du aufschreiben, wie diese -Algebren in diesem Fall aussehen?
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Wenn man so definiert: wenn Kopf bem i-ten Wurf und sonst , dann kann das Ereignis als der Schnitt der Ereignisse , ,..., und geschrieben werden. (Ich schreibe statt , weil die Anzahl der Köpfe zuerst die Anzahl der Zahlen nur beim ungeraden Wurf übersteigen kann.)
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Also die Zufallsvariablen sind mit jeweis Werten in , wobei das Werfen einer Zahl und das Werfen von Kopf bedeuten soll. Die zugrundeliegende -Algebra ist die von erzeugte -Algebra, also mit Meine Frage ist nun, wie ich zeigen kann, dass unter der obigen Notation, eine Stoppzeit ist.
In deiner Notation verwirrt mich dein ein wenig, da es oben anders definiert wurde.
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Das mit war auch falsch, ich habe nicht aufgepasst, dass bei euch die Variablen mit beginnen und nicht mit . Damit kann man zwar nur nach der ungeraden Anzahl der Würfe zuerst mehr Köpfe als Zahlen haben, aber der ungeraden Anzahl der Würfe entspricht ein gerades . Somit hat zwangsläufig die Form . Aber du kannst natürlich auch stehen lassen.
Wenn du so definierst, muss man die Ereignisse etwas anders schreiben (meine sind etwas einfacher zu behandeln). Und zwar ist der Durchschnitt der Ereignisse , , ,..., und . Diese Ereignisse liegen alle offensichtlich in , damit ist alles bewiesen.
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Vielen Dank für deinen Beweisvorschlag. Müsste aber nicht sein?
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Ich hab schon geschrieben, dass falsch ist, richtig ist , weil gerade ist. Ich hab auch geschrieben, warum. Was konkret verstehst du denn nicht?
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Müsste aber nicht sein?
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Wenn , dann bedeutet dass, dass wir schon jetzt mehr Köpfe als Zahlen haben. Nämlich 3 Köpfe und 2 Zahlen. Das darf aber nur im letzten Schritt passieren.
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alles klar, vielen Dank. Jetzt ist alles klar.
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