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Strahlensatz bei einem Pyramidenstumpf

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Pyramidenstumpf

Tags: Pyramidenstumpf

 
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Tmath

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18:17 Uhr, 29.01.2010

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Die Bodenfläche des quadratischen Pyramidenstumpfes beträgt 64 cm², die Deckfläche 10,24 cm². Der Pyramidenstumpf ist 3 cm hoch. Wie hoch wäre die gesamte Pyramide?

Erste (falsche) Lösungsmöglichkeit:
Man berechnet k² mit Hilfe der Flächen. Und ermittelt mit k die Gesamthöhe:
h=64:10,24⋅3=7,5

Zweite Lösungsmöglichkeit:
Man wendet den Strahlensatz an (Seitenkante aus der Wurzel der quadratischen Fläche):
h+34=h1,6;h=5

Meine Leherin war der Meinung, dass ihr Lösungsweg (der erste) richtig sei, bis sie selbst feststellte, dass es nicht so sein kann. Es müssten entweder 2 Pyramiden sein, die obere ist spitzer, oder die Deckfläche würde frei im Raum schweben, wenn doch h=7,5. Die zweite Lösung mit h=5 konnte wunderbar durch Zeichnung belegt und die erste Lösung wiederlegt werden.

So ergibt sich meine Frage: Warum kann ich nicht mit dem Flächenverhältnis die richtige Höhe bestimmen?

Aufgabe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DK2ZA

DK2ZA aktiv_icon

21:19 Uhr, 29.01.2010

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Wenn du das Flächenverhältnis verwenden willst, muss der Ansatz lauten:

(h-3h)2=10,2464

h-3h=0,4

h-3=0,4⋅h

0,6⋅h=3

h=5


Wie kommt man darauf?

h-3 ist die Entfernung der Deckfläche von der Spitze.
h ist die Entfernung der Bodenfläche von der Spitze.

Wenn man sich vorstellt, dass von der Spitze Licht ausgeht, welches durch die als Fenster gedachte Deckfläche tritt, dann beleuchtet dieses Licht in der doppelten Entfernung die vierfache Fläche und in der dreifachen Entfernung die neunfache Fläche.

Kurz:

Die Querschnittsfläche des Lichtbündels ist proportional zum Quadrat der Entfernung von der punktförmigen Lichtquelle. Mancherorts bekannt als "quadratisches Abstandsgesetz".


GRUSS, DK2ZA
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