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Streckenberechnung Dreieck

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: mathe, Pythagoras, Strecken

28willi01 aktiv_icon

17:46 Uhr, 26.11.2009

Hallo,

kann mir jmd, die aufgabe einmal Vorrechnen? (Einem Rechteck ABCD ist ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben. Berechnen Sie die Längen CE,BE und AE)

gruß

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Huy227 aktiv_icon

17:58 Uhr, 26.11.2009

AB sei die Sehne eines Thaleskreises mit Durchmesser 8.

M

sei der Mittelpunkt der Strecke AB. Nun weisst du, dass der Radius des Thaleskreises 4 ist, ergo ist die Strecke ME ebenfalls 4. Fällst du nun von

E

ein Lot auf die Strecke AB

(d . h

. eine Linie, die AB im rechten Winkel schneidet), welches in einen Schnittpunkt

S

resultiert, können wir neu das Dreieck MSE betrachten.

MS^2

+

SE^2 = ME^2

\to

MS^2 = ME^2 - SE^2

= 4^{2} - 3^{2} = 16 - 9 = 7

\to

= \sqrt{7}

CE ist also einfach MB - MS

= 4 - \sqrt{7} ≅ 1.35

BE und AE solltest du dann selbstständig mit Pythagoras errechnen können.

MfG

hagman aktiv_icon

18:08 Uhr, 26.11.2009

Die drei erkennbaren rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich, da sie gleiche Winkel haben.
Mit

s := \frac{B E}{B A}, c := \frac{E A}{B A}

folgt dann einerseits

s^{2} + c^{2} = 1

(Pythagoras), aber vor allem

\frac{B C}{B E} = c,

also

s \cdot c = \frac{3}{8}

.
Somit

{(s + c)}^{2} = s^{2} + 2 s c + c^{2} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}

.
Nach Vieta sind

s, c

Lösungen von

x^{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} x + \frac{3}{8} = 0,

und augenscheinlich ist

s

die kleinere und

c

die größere der beiden Lösungen.
Man findet

x_{1,2} = \frac{\sqrt{7}}{4} \pm \sqrt{\frac{7}{16} - \frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \pm \frac{1}{4},

also

s = \frac{\sqrt{7} - 1}{4}, c = \frac{\sqrt{7} + 1}{4}

Dann wird

B E = 8 \cdot s, A E = 8 \cdot c, C E = 8 \cdot s^{2}, E D = 8 \cdot c^{2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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