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Stromdichte, Eigenfunktion

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partielle Differentialgleichungen

Danny97 aktiv_icon

10:56 Uhr, 10.06.2021

Hallo, habe folgende Aufgabe zu QM:

φ_{n}

seien die normierten Eigenfunktionen des Hamiltonoperators des harmonischen Oszillators und

E_{n}

die zugehörigen Eigenwerte, siehe hierbei folgende Gleichung

φ_{n} (x) = \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{1}{\sqrt{n - 1}} \dots \frac{1}{\sqrt{2}} {({\hat{a}}^{†})}^{n} φ_{0} (x)

= \frac{1}{\sqrt{n!}} {(\frac{m ω}{π ℏ})}^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} {(\sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} x - \sqrt{\frac{ℏ}{m ω}} \frac{d}{d x})}^{n} e^{- \frac{m}{2 ℏ} x^{2}}

= \frac{1}{\sqrt{n! 2^{n}}} {(\frac{m ω}{π ℏ})}^{1 / 4} H_{n} (\sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} x) e^{- \frac{m ω}{2 ℏ} x^{2}}, E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω .

Hierbei muss ich für die Wellenfunktion

ψ (x, t) = A_{0} e^{- i E_{0} t / ℏ} φ_{0} (x) + A_{1} e^{- i E_{1} t / h} φ_{1} (x)

die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte

ρ (x, t)

und den Strom

j (x, t)

bestimmen .

A_{0}

und

A_{1}

sind zwei reelle Zahlen, die die Bedingung

A_{0}^{2} + A_{1}^{2} = 1

erfüllen sollen. Ich habe hier etwas Schwierigkeiten, weil die Funktion sehr komplex ist. Weiß jemand, was die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Stromdichte wäre? Ab da komme ich weiter mit dem Plotten.

Weitere Frage: Diskutieren Sie kurz das Verhalten der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zeit.

Ich hatte hierbei überlegt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte

ψ^{*} (x, t) ψ (x, t)

räumlich (und zeitlich) konstant ist. D.h. der genaue Aufenthaltsort des Teilchens ist unbestimmt oder mit anderen Worten, die Unschärfe

Δ x

des Ortes ist unendlich. Da

Δ p Δ x \sim h

endlich ist, verschwindet die Unschärfe

Δ p

des Impulses

p

D.h. neben der Energie

E

nimmt auch der Impuls

p

einen scharfen Wert an. Auch beim Impuls sind die Werte beliebig und nicht diskret. Liege ich richtig mit meiner Überlegung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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