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Strophoide Berechnungen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

ray11 aktiv_icon

09:00 Uhr, 21.04.2019

Hallo, ich hätte einige Fragen zu folgender Aufgabe:

Die Strophoide oder

α

-Kurve ist gegeben durch

γ : ℝ \to ℝ^{2} : t \mapsto \frac{1}{1 + t^{2}} [\begin{matrix} a (1 - t^{2}) \\ a t (1 - t^{2}) \end{matrix}], a \in ℝ

{

0}.

a)

Bestimmen Sie die Punkte mit waagrechter und senkrechter Tangente. Hat diese Kurve irreguläre Punkte? Bestimmen Sie die Tangenten im Ursprung.

b)

Begründen Sie, dass die Kurve sich implizit in kartesischen Koordinaten darstellen lässt durch die Gleichung

(a - x) x^{2} - (a + x) y^{2} = 0

c)

Bestimmten Sie das begleitende Zweibein an der Stelle

t = 1

d)

Bestimmten Sie (technologieunterstützt) den Flächeninhalt der "Schleife" der Kurve.

e)

Skizzieren Sie (technologieunterstützt) die Kurve für verschiedene Werte für

a

.

Meine bisherigen Lösungen:

a)

γ' (t) = \frac{a}{{(1 + t^{2})}^{2}} [\begin{matrix} - 4 t \\ - t^{4} - 4 t^{2} - 1 \end{matrix}]

Senkrechte Tangente wenn

γ_{1}' (t) = 0

und

γ_{2}' (t) \neq 0

\Rightarrow

wegen

- 4 t = 0

ist das nur bei

t = 0

der Fall
Waagrechte Tangente müsste dann sein wenn

γ_{2}' (t) = 0,

richtig?
Hier hätte ich von

- t^{4} - 4 t^{2} - 1 = 0

als Lösung

t_{1} = - 2 + \sqrt{3}

und

t_{2} = - 2 - \sqrt{3}

.
Das Problem ist, dass dies doch von a abhängen sollte?
Die Punkte wo die waagrechten Tangenten sind, wären auch irreguläre Punkte.
Wie bestimme ich die Tangenten im Ursprung?

b)

Ka wie das geht.

c)

γ' (1) = \frac{a}{2} [\begin{matrix} - 4 \\ - 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 2 a \\ - 3 a \end{matrix}]

T (t) = \frac{γ' (t)}{| | γ' (t) | |}, T (1) = \frac{1}{\sqrt{13} \cdot | a |} [\begin{matrix} - 2 a \\ - 3 a \end{matrix}]

N (t) = \frac{1}{| | γ' (t) | |} \cdot [\begin{matrix} - γ_{2}' (t) \\ γ_{1}' (t) \end{matrix}], N (1) = \frac{1}{\sqrt{13} \cdot | a |} [\begin{matrix} 3 a \\ - 2 a \end{matrix}]

Müsste so passen.

d)

Das hätte ich mit Geogebra versucht, allerdings funktioniert das Integral dort nur für Funktionen und nicht für Kurven. Wie könnte man das sonst machen?

e)

Tja das ist mit Hilfe von Geogebra trivial.

Ich hoffe mir kann wer bei den übrigen Fragen helfen.

Lg ray

Roman-22

10:13 Uhr, 21.04.2019

a)

Bei deiner Ableitung hast du einen Vorzeichenfehler (es muss

+ 1

anstelle von

- 1

lauten

>

Das Problem ist, dass dies doch von a abhängen sollte?
Die Koordinaten der entsprechenden Punkte (die du ja nicht angibst) hängen von a ab, aber die Parameterwerte (t-Werte) nicht.

>

Die Punkte wo die waagrechten Tangenten sind, wären auch irreguläre Punkte.
Warum glaubst du das?

>

Wie bestimme ich die Tangenten im Ursprung?
Du bestimmst zuerst die beiden Parameterwerte, die zum Doppelpunkt

(0 / 0)

führen

(t = \pm 1)

.
Berechnest dann die Ableitungsfunktion

\frac{d y}{d x} (t) = \frac{γ_{1}' (t)}{γ_{2}' (t)},

welche dir zu jedem t-Wert den Anstieg liefert. Na, und wenn du von einer Gerade einen Punkt und den Anstieg kennst, solltest du die Gleichung aufstellen können.

ad

b)

Einfach

γ_{1} (t)

und

γ_{2} (t)

in die angegebenen Gleichung für

x

und

y

einsetzen und nachrechnen.

ray11 aktiv_icon

10:28 Uhr, 21.04.2019

Danke für deine Antwort.

a)

Ah, ja stimmt. Mit

+ 1

statt

- 1

sollten die Werte für die waagrechten Tangenten dann passen.

Naja eine Kurve ist regulär

\Leftrightarrow \forall t : γ' (t) \neq 0

(laut unserem Skript)

Ich dachte, da bei den senkrechten und waagrechten Tangenten die Ableitung ja 0 ist sind an den Stellen der Ableitungen die irregulären Punkte?

Dann werde ich das mit den Tangenten im Ursprung mal probieren.

b)

Also setze ich dann

γ_{1} (t) = a (1 - t^{2})

und

γ_{2} (t) = a \cdot t (1 - t^{2})

in die Gleichung

(a - x) x^{2} - (a + x) y^{2} = 0

einsetzen?
Das verstehe ich nicht.

Roman-22

11:12 Uhr, 21.04.2019

>

Naja eine Kurve ist regulär ⇔∀t:γ′(t)≠0 (laut unserem Skript)
Ja, so ist es. Aber

γ' (t)

ist ja ein Vektor und nur, wenn alle dessen Komponenten Null sind, es sich also um den Nullvektor handelt, ist die Kurve nicht regulär.

>

Ich dachte, da bei den senkrechten und waagrechten Tangenten die Ableitung ja 0 ist sind an den Stellen der Ableitungen die irregulären Punkte?
Du musst präziserer sagen, welche Ableitung.
Bei den Punkten mit waagrechten Tangenten ist die Ableitung

\frac{d y}{d x} = 0

und

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x}

und das ist dann Null, wenn

\frac{d y}{d t} = 0

ist oder in deiner Nomenklatur

γ_{1}' (t) = 0

. Das bedeutet aber nicht, dass an diesen Stellen auch

γ_{2}' = 0

ist.
An einer irreguläre Stelle müsste

γ_{1}' = γ_{2}' = 0

gelten und eine solche Stelle gibt es in deinem Beispiel nicht.

>

Also setze ich dann γ1(t)=a(1−t2) und γ2(t)=a⋅t(1−t2) in die Gleichung
(a−x)x2−(a+x)y2=0 einsetzen?

>

Das verstehe ich nicht.

Nein! Du musst in

(a - x) x^{2} - (a + x) y^{2}

für

x

dein

γ_{1} (t)

(welches ich eher

x (t)

nennen würde) einsetzen, also

x = a \cdot \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}

und analog für

y

. Dann zusammenfassen und vereinfachen und hoffen, dass tatsächlich Null rauskommt.

ad

d)

>

Das hätte ich mit Geogebra versucht, allerdings funktioniert das Integral dort nur für Funktionen und nicht für Kurven.
??? Was meinst du da damit ?? Natürlich kann man nur Funktionen integrieren und keine Kurven

>

Wie könnte man das sonst machen?
Na, einfach in die hoffentlich bekannte Formel für die Fläche unter einer Kurve in Parameterdarstellung einsetzen

\to A = \int_{t_{1}}^{t_{2}} y (t) \cdot x' (t) d t

Deine Grenzen sind natürlich

- 1

und

1,

die Parameterwerte des Doppelpunkts. Natürlich kannst du aus Symmetriegründen auch eine Grenze mit 0 annehmen und das Ergebnis dafür verdoppeln.
Beachte, dass, wenn du die Parameter von

- 1

bis 1 laufen lässt, die Schleife im mathematisch negativen Sinn (Uhrzeigersinn) durchlaufen wird und das bestimmte Integral daher negativ ist. Nimm also den Betrag oder tausche die Grenzen.
tinyurl.com/y65qea9b

ray11 aktiv_icon

08:17 Uhr, 23.04.2019

Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe nun alles lösen können.

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