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Stückweise Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

robert987 aktiv_icon

10:40 Uhr, 09.06.2021

Hallo, ich muss prüfen ob die Funktionen f und g stückweise stetig sind.

f (x) = {3 x^{2} + 7

für

0 < x \leq 2, x s i n (\frac{1}{x - 2})

für

2 < x < 3

g (x) = {a r c t a n (\frac{1}{x})

für

0 < x \leq 2, (x - 2) s i n (\frac{1}{x - 2})

für

2 < x < 3

Man muss ja zeigen, dass die einzelnen Teile der Funktionen stetig sind, also zB.

3 x^{2} + 7

im Intervall von ]0,2[ und, dass die einzelnen Teile der Funktionen stetig im Intervall [0,2] fortgesetzt werden können.

Erstmal das zeigen, dass

3 x^{2} + 7

stetig ist: x ist als Identität stetig, Wegen den Rechenregeln ist x*x = x² auch stetig, Da 3 und 7 als Konstante Stetig ist, ist dann auch 3x²+7 stetig und besonders auch im Intervall ]0,2[. Da

l i m_{x \to 0} 3 x^{2} + 7 = 7

, und für die 2 gilt f(2) = 19, ist

3 x^{2} + 7

stetig fortsetzbar. Wäre das so korrekt?
Dann müsste man das bei

x s i n (\frac{1}{x - 2})

prüfen:
1. Stetigkeit x und sin(x) sind stetig

\Rightarrow

xsin(x) stetig. Bei

\frac{1}{x - 2}

bin ich mir jetzt nicht mehr sicher, aber es müsste doch auf dem Intervall ]2,3[ stetig sein? Wäre dann bei der stetig Fortsetzbarkeit

l i m_{x \to 2} x s i n (\frac{1}{x - 2})

= 0 und

l i m_{x \to 3} x s i n (\frac{1}{x - 2}) = 3 s i n (1)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Mathe45

11:13 Uhr, 09.06.2021

lim_{x \to 2} x \cdot sin (\frac{1}{x - 2}) = 0

Wie bist du auf das gekommen ?

rundblick aktiv_icon

11:29 Uhr, 09.06.2021

.
.. etwas seltsame Aufgaben?!

Beispiel

a) :

f (x)

ist zusammengebastelt aus

f_{1} (x) = x^{2} + 7

und

f_{2} (x) = x \cdot sin (\frac{1}{x - 2})

f_{1}

ist als ganzrationale Funktion für alle

x \in ℝ

stetig , also auch im Intervall

0 < x \leq 2

f_{2}

ist nur an der Stelle

x = 2

nicht definiert und für

2 < x < 3

überall stetig (stetige "Bauteile")

bleibt ja nur zu klären was an der Stelle

x = 2

mit

f (x)

passiert

\to

es existiert der Funktionswert

f_{1} (2) = 11

\to

und du kannst problemlos zeigen, , dass

f_{2}

für alle

2 < x < 3

zB kleiner als 3 ist

\Rightarrow

also wird

f (x)

an der Stelle

x = 2

eine Sprungstelle haben - egal ob
nun ein GW für

f_{2}

an der Stelle

x = 2

existiert oder nicht existiert
dh:

f (x)

ist mit Sicherheit unstetig an der Stelle

x = 2

basta.

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