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Subharmonische Funktionen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

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17:30 Uhr, 24.06.2015

Hallo,
eine Funktion u heißt subharmonisch falls für alle Kugeln

B_{r} (x_{0})

und jede harmonische Funktion h mit

u \leq h

auf

\partial B_{r} (x_{0})

gilt

u \leq h

auf

B_{r} (x_{0})

.
Zeigen sie, dass u genau dann subharmonisch ist, wenn

- Δ u \leq 0

ist.

Viele Grüße

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11:29 Uhr, 25.06.2015

Satz 2.2. hier:
http://num.math.uni-goettingen.de/~f.werner/files/Plurisub.pdf

PS. Leider gehen Deine Fragen langsam, aber sicher über das Niveau dieses Forums. :-)

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22:24 Uhr, 25.06.2015

Danke für den Link. Aber der Beweis sieht deutlich zu schwer aus und ist ja auch im Komplexen geführt. Ich hab die Behauptung jetzt mehrfach auf Übungszettel zu Anfängervorlesungen zu PDE's gesehen, aber leider keinen Beweis dazu gefunden.

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22:27 Uhr, 25.06.2015

Mich würde sehr wundern, wenn dazu ein einfacher Beweis existieren würde.
Aber vielleicht dürft Ihr ein Zwischenresultat benutzen, mit dem das dann schneller geht.

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22:40 Uhr, 25.06.2015

Wir haben schon gezeigt, dass

u \in C^{2} (Ω)

subharmonisch äquivalent ist zu

\forall x \in R^{n}

mit

B_{r} (x) \subset Ω

gilt

u (x) \leq \frac{1}{∣ \partial B_{r} (x) ∣} \int_{\partial B_{r} (x)} u

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22:51 Uhr, 25.06.2015

Kuck dann den Beweis von Satz 2.2 hier:
www.uni-due.de~hn213me/mt/s08/pdgl/vpdg.pdf
Scheint etwas einfacher zu sein.

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