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Substitution beim elliptiachen Integral

Schüler

Tags: Ellipse, Integral, Substitution

 
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benutzer4589

benutzer4589 aktiv_icon

02:13 Uhr, 09.07.2019

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Hallo, ich hab mir bei Wikipedia die Herleitung für den Umfang einer Ellipse angeguckt und mir ist klar wie die Schritte funktionieren (d.h. wie man die Parametrisierung und das Wegintegral anwendet) und komme bis zu diesem Schritt:
U=4a02π1-ɛ2cos2tdt

Aber dann wird behauptet, dass man substituieren kann: ϑ=π2-t und dann

U=4a02π1-ɛ2sin2ϑdϑ erhält.

Aber genau das leuchtet mir nicht ein, weil ja ϑdt = -1
und somit ein Minuszeichen vor dem Integral stehen müsste. Wo liegt der Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

08:31 Uhr, 09.07.2019

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Hallo,

durch die Substitution wird auch die Reihenfolge der Grenzen vertauscht - größerer Wert als untere Grenze, kleinerer Wert als obere Grenze -. Diese Reihenfolge wird vertauscht und liefert dadurch einen weiteren Faktor (-1).

Gruß pwm
benutzer4589

benutzer4589 aktiv_icon

12:04 Uhr, 09.07.2019

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Danke, ich habe vergessen, dass man die Substitution beim bestimmten Integral auch auf die Integrationsgrenzen anwenden muss. Alternativ kann man folgende Identität verwenden:
0kπ2cos(t)2ndt=0kπ2sin(t)2nk,n.