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Substitution und uneigentliche Integrale

Universität / Fachhochschule

14:01 Uhr, 03.07.2014

Guten Tag,

1.)Das Integral

\frac{π}{2}

bis

2 \cdot \frac{π}{3}

von

\frac{d x}{sin (x)}

soll gelöst werden.
Da im Nenner ein

x

steht, und somit eine 0 enstehen kann, muss man das Integral durch Substitution lösen, wobei das

x

gekürzt werden kann, nehme ich an.
Jetzt weiß ich jedoch nicht,wieso man

y = tan (\frac{x}{2})

substituiert( Laut Lösung).
Kann das jemand Schritt für Schritt erklären?

2 .)

Existiert das Integral

80

bis unendlich von

\frac{1}{x}

?
Da habe ich erst einmal die Stammfunktion gebildet:

[ln (x)] 80

bis unendlich.

dann unendlich durch

t

ersetzt und : limes(t->oo)

(ln (t) - ln (80))

gerechnet.

Jetzt lautet die Antwort jedoch, dass es dieses Integral nicht gibt. Wieso?
der

ln

ist doch weder 0 noch negativ.

Vielen Dank im Voraus!

15:04 Uhr, 03.07.2014

hallo,

Zu1)

Wenn Du Integrale der folgenden Struktur hast:

\int R (sin (x), cos (x) d x

ist

y = tan (\frac{x}{2})

immer die richtige Substitution.

Woher kommt die Substitution? (siehe Link)

http//de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

Im folgenden mußt Du folgendes ersetzen:

sin (x) = \frac{2 y}{y^{2} + 1}

d x = \frac{2}{y^{2} + 1} d y

Herleiten kannst Du das wie folgt:

1 .) sin (x) = sin (\frac{x}{2} + \frac{x}{2})

2 .) d x

über Ableiten von

x = 2

arc

tan (y)

die beiden Beziehungen eingesetzt , ergibt

= \int \frac{1}{y} d y

= ln | y | + C

= ln | tan (\frac{x}{2}) | + C

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