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Substitution zu Winkelfunktion

Universität / Fachhochschule

03:45 Uhr, 11.10.2010

Soll

\int 2 \cdot \sqrt{(1 - x^{2})} d x

im Bereich von

- 1

bis 1 so substituieren, dass

2 \int {cos (y)}^{2} d y

von

- \frac{π}{2}

bis

\frac{π}{2}

daraus wird.

k . A .,

wie ich das mach. In der VO waren die Bsp. ausschließlich ohne Winkelfunktionen.

07:02 Uhr, 11.10.2010

Hallo,

kennst du den "trigonometrischen Pythagoras"?

\Rightarrow

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1 \Leftrightarrow {cos}^{2} (x) = 1 - {sin}^{2} (x)

Substituierst du nun bei deinem Integral

x = sin (y),

kannst du dann

1 - {sin}^{2} (y)

mit

{cos}^{2} (y)

ersetzen. Und

d x = cos (y) \cdot d y

\int 2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}} d x = 2 \cdot \int \sqrt{1 - {sin}^{2} (y)} \cdot cos (y) d y = 2 \cdot \int \sqrt{{cos}^{2} (y)} \cdot cos (y) d y = 2 \cdot \int cos (y) \cdot cos (y) d y = 2 \cdot \int {cos}^{2} (y) d y

Die Grenzen wurden auch substituiert. Ich nehme an du weißt wie das funktioniert.

x = sin (y) \Leftrightarrow y = a r c s i n (x)

Jetzt brauchst du nur noch deine vorherigen Grenzen dort einzusetzen.

PS: Ich meine mit

{cos}^{2} (y) = {[cos (y)]}^{2}

Gruß Shipwater

10:31 Uhr, 11.10.2010

Danke, Shipwater, du bist ein Genie!

14:24 Uhr, 11.10.2010

Gern geschehen.

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