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Substitutionsproblem

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration, Substitution, Substitutionsfunktion

Dietz aktiv_icon

18:56 Uhr, 09.04.2024

Ich habe folgendes Problem bei der Integration durch Substitution:
Darf man die Substitutionsfunktion

z =

… beliebig wählen?
Das folgende Beispiel scheint dies zu verneinen:

Ich möchte das Integral

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x

mit Hilfe des Substitutionsverfahrens lösen.
Natürlich lässt sich dieses Integral viel einfacher auf normalem Wege lösen:

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{- 1}^{1} = \frac{1}{3} - (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}

Nun zur Lösung mit der Substitution

z = x^{2} :

\frac{d x}{d z} = 2 x

⟹

d x = 2 x d z

Außerdem gilt x=±

\sqrt{z}

Grenzen:

x =

–1

\Rightarrow z = 1

x = 1 \Rightarrow z = 1

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \int_{- 1}^{1} ...

. Das ist offensichtlich falsch!
Und es wird auch nicht besser, wenn ich es ausführlich hinschreibe:

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \int_{- 1}^{1}

z∙2x

d z = \int_{- 1}^{1}

z∙2

(\pm \sqrt{z}) d z =

2∙

\int_{1}^{1}

z^{1,5} d z = 0

Ich hoffe sehr, dass ich in obiger Rechnung einen Fehler, den ich selbst leider nicht finden kann, gemacht habe. Falls jemand diesen Fehler findet, bitte ich sehr um Mitteilung.
Falls ich keinen Fehler gemacht haben sollte, stellt sich mir natürlich die Frage:

Gibt es Substitutionsfunktionen

z =

… , die trotz richtiger Anwendung ein falsches Ergebnis liefern?
Das würde die ganze Substitutionsmethode in Frage stellen!

Ich bitte um Aufklärung.
Dieter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Dietz aktiv_icon

19:14 Uhr, 09.04.2024

Ich habe gerade (nach dem Abschicken meines Problems) noch einen dummen Fehler in der Problemstellung entdeckt:
statt

d x = 2 x d z

muss es natürlich richtig lauten:

d x = \frac{d z}{2 x}

Damit folgt weiterhin:

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = . .

= \frac{1}{2} \int_{1}^{1} \pm \sqrt{z} d z = 0

Das ändert allerdings nichts an der Problematik der Fragestellung.

Messe687 aktiv_icon

19:38 Uhr, 09.04.2024

Hallo,

ich bin mir nicht ganz sicher, aber gibt es nicht einen Fehler bei der Berechnung der Grenzen?

Es gilt nach Wikipedia:
Sei

I

ein reelles Intervall,

f : I \to ℝ

eine stetige Funktion und

φ : [a, b] \to I

Stetig differenzierbare Funktion. Dann ist

\int_{a}^{b} f (φ (x)) \cdot φ ʹ (x) d x = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (t) d t

.

Du wählst hier

z = φ (x) = x^{2}

wenn ich das richtig verstanden habe.

Wenn man sich jetzt

\int_{φ (a)}^{φ (b)} f (t) d t = \int_{- 1}^{1} x^{2} d t

anschaut fällt auf, dass:

φ (a) = - 1

Daraus folgt:

a^{2} = - 1

Die untere Grenze müsste also

i = \sqrt{- 1}

sein oder?

Dadurch wäre das Intervall

I

nicht mehr reel und wir könnten diese Funktion

z = x^{2}

nicht benutzen

Ich hoffe das macht Sinn und ich habe keinen Fehler.

Viele Grüße

Felix

michaL aktiv_icon

19:52 Uhr, 09.04.2024

Hallo,

ok, das Problem ist die Verwendung von

\sqrt{x^{2}} = x

für negative Werte von

x

.

Da

x = {\begin{aligned} + \sqrt{x^{2}}, & x \geq 0 \\ - \sqrt{x^{2}}, & x < 0 \end{aligned}

gilt, musst du

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x

unterteilen in

\int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x^{2} d x

.

Ich schreibe das Integral mal gemäß de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Aussage_der_Substitutionsregel .

Es geht also um

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} \sqrt{x^{2}} \cdot 2 x d x

bzw. (exakt) um

\int_{- 1}^{0} - \frac{1}{2} \sqrt{x^{2}} \cdot 2 x d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \sqrt{x^{2}} \cdot 2 x d x

Nun die Substitution:

\int_{1}^{0} - \frac{1}{2} \sqrt{z} d z + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \sqrt{z} d z = - \int_{1}^{0} \frac{1}{2} z^{\frac{1}{2}} d z + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} z^{\frac{1}{2}} d z = - {[\frac{1}{3} z^{\frac{3}{2}}]}_{1}^{0} + {[\frac{1}{3} z^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1} = (0 - (- 1 \cdot \frac{1}{3})) + (1 \cdot \frac{1}{3}) - 0

= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Die Substitution geht also auf, man muss es dann nur richtig machen.

Natürlich hätte man die Integrale zwischendurch zusammenfassen können. Das habe ich aber hier extra nicht gemacht.

Mfg Michael

Dietz aktiv_icon

12:26 Uhr, 10.04.2024

Zunächst einmal: Herzlichen Dank an Felix und Michael für eure schnellen Antworten!

An Felix: Deine Argumentation

φ (a) = - 1

ist falsch, denn

a = - 1 \Rightarrow φ (a) = {(- 1)}^{2} = 1

An Michael: Du hast genau den wunden Punkt getroffen: Die Resubstitution

x = \pm \sqrt{z}

ist nicht eindeutig. Man muss offensichtlich hier eine entsprechende Fallunterscheidung durchführen, für

x < 0

und

x > 0

.

Für

- 1 < x < + 1

ist die Substitution

z = x^{2}

nicht umkehrbar.

Ich glaube also, dass die Substitutionsfunktion

z = . .

. unbedingt umkehrbar sein muss.
Allerdings habe ich diese Bemerkung noch in keinem Lehrbuch gelesen. Das mag daran liegen, dass ich eh ungern Lehrbücher lese.

Bisher habe ich immer die Substitutionsfunktion mehr oder weniger nach Bauchgefühl gewählt und damit Hunderte von Integralen gelöst. Ich möchte gar nicht wissen, wie viele meiner Lösungen falsch waren.

Dass obige Lösung des Integrals

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x

mit dieser Substitution falsch war, war offensichtlich. Wenn ich andere Grenzen gewählt hätte (etwa von

- 1

bis

+ 2),

dann wäre das Ergebnis auch noch falsch aber nicht offensichtlich falsch.

Dankbare Grüße an Felix und Michael von
Dieter

HAL9000

12:55 Uhr, 10.04.2024

> Ich glaube also, dass die Substitutionsfunktion z=... unbedingt umkehrbar sein muss.
> Allerdings habe ich diese Bemerkung noch in keinem Lehrbuch gelesen.

Muss sie nicht zwangsläufig sein: Wie Messe687 oben schon angeführt hat, lautet für

z = φ (x)

die vollständige Substitutionsformel

\int_{a}^{b} f (φ (x)) \cdot φ ´ (x) d x = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (z) d z

So klappt z.B. das nicht-injektive

φ (x) = x^{2}

ganz wunderbar beim Integral

\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 x d x = \int_{1}^{1} \frac{z}{2} d z = 0

.

Bei deinem Integral klappt das allerdings nicht, weil es kein

f

gibt mit

f (x^{2}) = \frac{x}{2}

für alle

x

aus dem Integrationsbereich. Wie gesehen klappt es bei anderen Integranden aber doch - und in diesem Fall muss also

φ

nicht zwangsläufig injektiv sein.

michaL aktiv_icon

13:12 Uhr, 10.04.2024

Hallo,

ich habe auf de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Anwendung genau diese Aussage aber gefunden:

Diese Substitutionsmethode lässt sich auch rückwärts durchführen; allerdings muss die Funktion

φ

injektiv sein. Man geht von

\int_{α}^{β} f (t) d t

aus (man beachte die Benennung der Integrationsgrenzen). Die Integrationsvariable

t

wird durch den Term von

φ (x)

ersetzt, ebenso das Symbol

d t

durch

d x

. Der Integrand wird mit

φ ʹ (x)

multipliziert. ...

Ich denke, dass man das aber auch anders herum betrachten kann. Deshalb habe ich diese Schreibweise gewählt.

Wenn man (wie in de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Aussage_der_Substitutionsregel ) die Substitution von

\int f (φ (x)) \cdot φ ʹ (x) d x

\int f (t) d t

(Grenzen der EInfachheit halber fortgelassen) führen möchte, sollte man den Integranden auch entsprechend schreiben.

Man kann

x^{2} d x

oberflächlich (!) als

\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}} \cdot 2 x d x

schreiben, hat aber das Problem, dass

\sqrt{x^{2}}

für

x < 0

eben von

x

verschieden ist.
Daher muss ich abhängig vom Bereich eine Korrektur durchführen und eben zu diesem Zweck den Integrationsbereich aufspalten.
Dann ist die Frage nach der Injektivität auch nicht relevant.

Allerdings willst du (wie die meisten anderen vermutlich auch) bei dieser Substitution NICHT so umständlich arbeiten wie ich.
Dann kommst du um die Injektivitätsbetrachtung nicht herum.

Zum Thema Lehrbuch möchte ich mich hier noch zurückhalten, bis ich zuhause das eine oder andere in die Hand nehmen kann. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das Problem nicht auch in den meisten Lehrbüchern korrekt dargestellt wird.
Ich möchte deswegen nochmal betonen, dass es offenbar einen Unterschied ausmacht, die Substitution so durchzuführen, wie die meisten es machen würden, oder wie ich das dargestellt habe. (Vgl. wikipedia dazu).

Mfg Michael

Dietz aktiv_icon

19:13 Uhr, 10.04.2024

Toll, dass man in diesem Forum so schnell kompetente Antworten erhält. Vielen Dank dafür!

An HAL9000: Du hast mich überzeugt, dass die Substitutionsfunktion nicht unbedingt umkehrbar sein muss. Tolles Gegenbeispiel!

MfG
Dieter

michaL aktiv_icon

11:08 Uhr, 11.04.2024

Hallo,

ich möchte nicht, dass hier ein falscher Eindruck sich verfestigt.
HAL9000 behauptet, dass es kein

f

gebe, mit

f (x^{2}) = \frac{x}{2}

.

Ich denke, die gibt es schon.

f (x) = {\begin{aligned} \frac{1}{2} \sqrt{∣ x ∣}, & x \geq 0 \\ - \frac{1}{2} \sqrt{∣ x ∣}, & x < 0 \end{aligned}

Ich denke, jeder wird

f (x^{2}) = \frac{1}{2} x

nachvollziehen können.
Daher betone ich noch einmal, dass man vermutlich am besten fährt, als wahres Problem zu identifizieren, dass es auf die Art der Substitution ankommt.

Jeweils ohne Grenzen: Von

\int f (φ (x)) \cdot φ ʹ (x) d x

\int f (z) d z

ist stets unproblematisch. Allerdings erfordert es in obigem Fall wegen der eingebauten Fallunterscheidung eine Aufspaltung des Integrals.

Die Richtung von

\int f (z) d z

\int f (φ (x)) \cdot φ ʹ (x) d x

kann Probleme enthalten, wie aus diesem Faden deutlich geworden sein sollte.

Stets lässt sich bei einem nicht verschwindenden Integral

\int_{a}^{b} f (z) dz

eine (nicht injektive) Substitution

z = φ (x)

finden, die ins Chaos führt, nämlich insbesondere dann, wenn die Urbildmenge der Elemente

a

bzw.

b

nicht einelementig ist.

Dass

\int x^{3} d x

per

z = x^{2}

problemlos substitutiert werden kann, liegt daran, dass es die unproblematische Richtung ist, d.h. der Integrand von der Form

\int f (φ (x)) \cdot φ ʹ (x) d x

ist. Diese sind stets unproblematisch.

Mfg Michael

PS: Heute versuche ich an die Lehrbücher zu denken...

HAL9000

11:18 Uhr, 11.04.2024

> HAL9000 behauptet, dass es kein

f

gebe, mit

f (x^{2}) = \frac{x}{2}

.

Richtig, und dazu stehe ich nach wie vor: Denn dann müsste für

x = 1

bzw.

x = - 1

gelten

- \frac{1}{2} = f ({(- 1)}^{2}) = f (1) = \frac{1}{2}

, Widerspruch.

Schau deinen Beitrag nochmal gründlich durch und erkenne den Fehler. ;-)

> Ich denke, jeder wird

f (x^{2}) = \frac{1}{2} x

nachvollziehen können.

Ich nicht: Die von dir definierte Funktion ergibt

f (x^{2}) = \frac{1}{2} ∣ x ∣

für alle reellen

x

, auch für

x < 0

.

Wie du

f

für negative Argumente definierst, ist völlig belanglos, da dieser Zweig bei der Anwendung

f (x^{2})

nie begangen wird.

michaL aktiv_icon

11:41 Uhr, 11.04.2024

Hallo,

jup, ich habe tatsächlich nicht von

f

aus gedacht.

Mfg Michael

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