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Subtraktion g-aldarstellung

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

Hiho12345 aktiv_icon

11:06 Uhr, 04.11.2023

Ich weiß ich habe die Frage schon gestellt aber es haben sich bei mir neue Fragen ergeben.

Ich habe folgendes bereits herausgefunden.

Vor jeder Rechnung muss geschaut werden, ob

a >

gleich

b

ist oder

a < b

ist.

e 0 := a 0 - b 0

falls

a 0

größer gleich

b 0

a 0 + g - b 0

falls

a 0 < b 0

f 0 := 0

falls

a 0

größer gleich

b 0

1 falls

a 0 < b 0

e 1 := a 1 - b 1 - f 0

falls

a 1

größer gleich

b 1 + f 0

a 1 - b 1 - f 0 + g

falls

a 1 < b 1 + f 0

Und so weiter
Stimmt das so und gilt dann

em:= am-bm-fm-1 falls am größer gleich bm

+

fm-1
am - bm -fm-1

- g

falls am

<

bm+fm-1

Und dann auch wieder fm also der Übertrag. Aber wie kommt man auf die Summenschreibweise?

ledum aktiv_icon

16:39 Uhr, 04.11.2023

Das sieht erstmal richtig aus, manches noch durcheinander, zuerst aber musst du definieren Wass die

e

und

f

sind.
grüß ledum

Hiho12345 aktiv_icon

12:37 Uhr, 06.11.2023

Was ist durcheinander

HAL9000

13:32 Uhr, 06.11.2023

Problem ist, dass du zwar die Überträge

f_{k}

für die Berechnung verwendest, sie aber nicht streng formal definierst. Beispielsweise könntest du das in einer "vektorwertigen" Iteration tun:

(e_{k}, f_{k}) = {\begin{array}{ll} (a_{k} - b_{k} - f_{k - 1}, 0) & falls a_{k} \geq b_{k} + f_{k - 1} \\ (g + a_{k} - b_{k} - f_{k - 1}, 1) & falls a_{k} < b_{k} + f_{k - 1} \end{array}

für

k = 0, 1, \dots

mit Startübertrag

f_{- 1} = 0

.

------------------------------------------------------

Alternativ kann man auch erstmal

e_{k}

außen vor lassen und schlicht nur

(f_{k})

rekursiv definieren (wieder mit Start

f_{- 1} = 0

)

f_{k} = {\begin{array}{ll} 0 & falls a_{k} \geq b_{k} + f_{k - 1} \\ 1 & falls a_{k} < b_{k} + f_{k - 1} \end{array}

für

k = 0, 1, \dots

und definiert anschließend

e_{k} = f_{k} \cdot g + a_{k} - b_{k} - f_{k - 1}

Hiho12345 aktiv_icon

14:43 Uhr, 06.11.2023

Ok und wie schreibt man das dann mit summenzeichen?

HAL9000

14:50 Uhr, 06.11.2023

Was genau willst du "mit Summenzeichen schreiben"? Meinst du den Nachweis, dass die Zahl mit diesen so berechneten Ziffern

e_{k}

tatsächlich die Differenz der Ausgangzahlen repräsentiert?

Hiho12345 aktiv_icon

14:52 Uhr, 06.11.2023

Nein ich brauche das auf dem Bild für die subtraktion

Hiho12345 aktiv_icon

14:52 Uhr, 06.11.2023

Nein ich brauche das auf dem Bild für die subtraktion

HAL9000

14:53 Uhr, 06.11.2023

Und du bist dir ganz sicher mit diesem "Nein"? Denk nochmal nach.

Hiho12345 aktiv_icon

14:58 Uhr, 06.11.2023

Ich meinte ja tut mir leid

HAL9000

15:11 Uhr, 06.11.2023

Geht basierend auf dem zuletzt von mir aufgeschriebenem

e_{k} = f_{k} \cdot g + a_{k} - b_{k} - f_{k - 1}

doch recht schnell.

Aber zunächst ein paar vorbereitende Betrachtungen: Ich nehme an, dass es hier nur um Subtraktionen mit

c \geq d

geht, d.h. nur Subtraktionsresultate

c - d \geq 0

. Damit verbunden ist Stellenzahl

m \geq n

, außerdem werden im Fall

m > n

die vorderen Ziffern des Subtrahenden mit Nullen "aufgefüllt", also

b_{m} = b_{m - 1} = \dots = b_{n + 1} = 0

. Der letzte Übertrag

f_{m}

MUSS dann gleich 0 sein, ansonsten stimmt

c \geq d

nicht!

Nun zum eigentlichen Nachweis:

\sum_{k = 0}^{m} e_{k} g^{k} = \sum_{k = 0}^{m} (f_{k} \cdot g + a_{k} - b_{k} - f_{k - 1}) g^{k} = \sum_{k = 0}^{m} a_{k} g^{k} - \sum_{k = 0}^{m} b_{k} g^{k} + \sum_{k = 0}^{m} (f_{k} \cdot g^{k + 1} - f_{k - 1} \cdot g^{k})

.

Letzteres ist eine Teleskopsumme mit Wert

\sum_{k = 0}^{m} (f_{k} \cdot g^{k + 1} - f_{k - 1} \cdot g^{k}) = f_{m} g^{k + 1} - f_{- 1} \cdot g^{0} = 0 \cdot g^{k + 1} - 0 \cdot 1 = 0

, fällt also weg. Berücksichtigt man nun noch die o.g. führenden Nullen

b_{m} = b_{m - 1} = \dots = b_{n + 1} = 0

, so gelangt man direkt zu

\sum_{k = 0}^{m} e_{k} g^{k} = \sum_{k = 0}^{m} a_{k} g^{k} - \sum_{k = 0}^{n} b_{k} g^{k} = c - d

.

P.S.: Genau genommen gehört zum Nachweis eigentlich auch noch, dass die so berechneten Zahlen

e_{k}

auch tatsächlich Ziffern sind, d.h. dass

0 \leq e_{k} \leq g - 1

begründet wird.

Hiho12345 aktiv_icon

15:21 Uhr, 06.11.2023

Was meinst du mit dem letzten Teil hinter dem ps

HAL9000

15:24 Uhr, 06.11.2023

Ich meine IMMER das, was ich schreibe. Die

e_{k}

müssen auch WIRKLICH Ziffern sein, sonst ist das ganze doch sinnlos. Denn ohne diese Forderung könnte man doch ganz simpel

e_{k} = a_{k} - b_{k}

festlegen, dann ist die Summengleichung auch erfüllt, obwohl es nicht das ist, was man will...

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