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Suche Formel für Bogenlänge einer Spirale

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Tags: Bogenlänge einer Kurve, Funktion, Spirale

Torgo aktiv_icon

20:16 Uhr, 01.07.2009

Hallo zusammen.

Ich habe folgendes Problem.

Ich möchte ein Spiralstück erstellen, dessen Radius abhängig von phi schrumpft. r(phi)=R-a*phi/(2*pi). sprich, nach 90° hat sich der Radius um a verkleinert. Nun suche ich Punkte auf diesem Bogenstück, und zwar ausgehend von phi=0. Diese Punkte sollen im Abstand einer konstanten Bogenlänge t zueinander stehen.

Also, gegeben ist R(phi), R0, phi0 und t.

Mein Ansatz ist folgendermaßen

t= $\int_{p h i 1}^{p h i 2} \sqrt{1 + f' (p h i)} d p h i$ , jetzt habe ich mir schon den kopf zermartert, wie ich an f(phi) komme, bekomme es aber einfach nicht hin... keine ahnung, warum, wahrscheinlich ganz einfach, ich seh es nur nicht...

Falls euch etwas dazu einfällt, wäre ich froh über etwas Unterstützung.

Danke im Voraus, Torgo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

el holgazán aktiv_icon

20:29 Uhr, 01.07.2009

Edit: Sorry, den Beitrag hab ich schon erfasst, als deine Frage noch leer war. Vielleicht hilft der Beitrag aber trotzdem

Logarithmische Spirale in Parameterschreibweise:

Hier ist

r (t) = a \exp (- \frac{t}{τ})

im Gegensatz zu deinem Beispiel.

x (t) = a \exp (- \frac{t}{τ}) \cdot c o s (t)

y (t) = a \exp (- \frac{t}{τ}) \cdot s i n (t)

Bogenlänge einer Funktion:

L = \int_{a}^{b} \sqrt{\dot{x} (t)^{2} + \dot{y} (t)^{2}} d t

(unter der Wurzel sind Ableitungen!)

Was du also machen musst ist das Integal lösen in Abhängigkeit von a und b. Willst du die Gesamtlänge lässt du

b \to \infty

gehen.

Torgo aktiv_icon

20:42 Uhr, 01.07.2009

das problem ist, die spirale zu finden, die genau mein gewünschtes bogenstück passiert..

zum edit: hab ich mir schon gedacht. ich danke dir für deine mühen

el holgazán aktiv_icon

20:52 Uhr, 01.07.2009

Wie wärs mit

x (φ) = (R - \frac{2 a \cdot φ}{π}) \cdot s i n (φ)

y (φ) = (R - \frac{2 a \cdot φ}{π}) \cdot c o s (φ)

für

φ \in [0, \frac{π}{2}]

Sieht so aus für R=2, a=1:
http://www96.wolframalpha.com/input/?i=ParametricPlot[{%282-2t%2FPi%29+Sin[t]%2C%282-2t%2FPi%29+Cos[t]}%2C{t%2C0%2CPi%2F2}]

Torgo aktiv_icon

20:53 Uhr, 01.07.2009

Ha! ich habs gefunden^^

$L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi$ .

Wenn ich in Polarkoordinaten rechne, wird es alles gleich klar.

Deine Antwort hat mich darauf gebracht. Ich danke dir

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