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Suche Lösungsansätze für Extremwertaufgabe

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben, tunnel

Niesel aktiv_icon

13:46 Uhr, 22.02.2009

Hilfe...

Ich bin seit gerade hier angemeldet. Ich heiße Denise, bin

22

jahre alt und besuche die

12

. Klasse (Fachoberschule).

In ungefähr 2 Wochen habe ich Prüfungen und stehe jetz in Mathe vor einer Hausaufgabe zu Extremwertaufgaben und bekomm keinen anständigen Lösungsansatz auf die Reihe

= (

Hier die Aufgabe:

Der Querschnitt eines

25 m

langen Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang der Querschnittsfläche beträgt

18 m

. Wie ist der Radius des Halbkreisess zu wählen, damit das Tunnelvolumen möglichst groß wird?

So...dass das Maximum gesucht ist, is mir schon mal klar. Der Umfang des Gesamten ist gegeben und der Radius des Halbkreies ist gesucht (Maximum).Aaaaber..ich kann damit noch gar nichts anfangen

= (

Kann mir wer helfen? Muss die Aufgaben bis Mittwoch fertig haben um noch annähernd ne gute Note zu bekommen vor der Prüfung...

Lg, Denise

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Skandalnudel aktiv_icon

14:06 Uhr, 22.02.2009

Ich werde dir jetzt mal ein wenig beim Ansatz helfen, wenn du konkretere Hilfe brauchst frag nach.

Du hast jetzt erst einmal 2 Variablen, einmal die Breite des Tunnels und den Radius. Du hast aber eine Angabe und zwar den Umfang.

Fang erst einmal an den Umfang mit

b

und

r

auszudrücken. Vielleicht kommst du dann schon selber weiter.

Cauchy09

14:12 Uhr, 22.02.2009

Das Rechteck ist

2 r

breit. Die Höhe rechnet man so aus:

π r + 2 r + 2 h = 18

\Leftrightarrow h = 9 - \frac{π + 2}{2} r

Dann ist die Querschnittsfläche:

A = \frac{π r^{2}}{2} + 2 r \cdot h

= \frac{π}{2} r^{2} + 2 r \cdot (9 - \frac{r (π + 2)}{2})

= - \frac{π + 4}{2} r^{2} + 18 r

Und das Volumen des Tunnels:

V (r) = A \cdot 25

= (- \frac{π + 4}{2} r^{2} + 18 r) \cdot 25

= - \frac{25 (π + 4)}{2} r^{2} + 450 r

V' (r) = - 25 (π + 4) r + 450 = 0

\Leftrightarrow r = \frac{18}{π + 4} = 2,52

Wobei es reichen würde, wenn man die Querschnittsfläche maximierte. Denn das Volumen ist ja nur die Querschnittsfläche mal

25

. Für

r

käme also dasselbe raus und man spart sich die Volumenformel.

Niesel aktiv_icon

14:57 Uhr, 22.02.2009

Danke für die schnelle Hilfe.

Nochmal zusammenfassend:

Also ist meine Höhe des Halbkreises gleichzeitig der Radius (was jetzt im Nachhinein als sehr logisch erscheint,denn von allen Seiten des Kreises ist ja der Radius gleich groß...

=))

Meine Hauptbedingung ist, die Höhe zu errechnen und die Nebenbedingung die Fläche um die Zielfunktion des maximalen Volumens zu berechnen?

Dann ist also mein Radius von

2,52 m

des Halbkreises der Wert, um das maximale Volumen des Tunnelvolumens zu erreichen...richtig?

Meinen Antwortsatz könnte ich also wie folgt schreiben:

"Es ist ein Radius von

2,52 m

erfoderlich um das maximale Tunnelvolumen zu erreichen."

Cauchy09

15:17 Uhr, 22.02.2009

Hauptbedingung/Zielfunktion:

V (r) \to

maximieren
Nebenbedingung:

U = 18

Für einen Radius von

2,52 m

ist das Tunnelvolumen, unter der Nebenbedingung, dass der Umfang des Tunnelquerschnitts

18 m

beträgt, maximal.

Niesel aktiv_icon

15:20 Uhr, 22.02.2009

Aaaah vielen vielen Dank

=)

Nun bin ich doch wieder ein kleines Stückchen schlauer

=)

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