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Suffizienz einer Statistik zeigen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Faktorisierungssatz, Gleichverteilung, identisch, Neyman, Statistik, Stichprobe, suffizient, unabhängig, Verteilungsfunktion

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18:10 Uhr, 28.01.2019

Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen:
Gegeben sei eine

i . i . d

(unabhängig identisch verteilte) Stichprobe

X_{1}, ..., X_{n}

eines auf dem Intervall

[0, b]

(stetig) gleichverteilten Merkmals X.
Zeigen Sie: Die Statistik

T = max {X_{1}, ..., X_{n}}

ist suffizient für

b

.
Hierbei soll der Faktorisierungssatz (Neyman-Kriterium) verwendet werden.

Ich weiß leider nicht wie das geht und habe dazu auch nichts in meinen Unterlagen gefunden.
Über jegliche Hilfe bin ich sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Gerade

HAL9000

13:43 Uhr, 29.01.2019

Der Neyman-Satz sagt aus, dass eine Statistik

T (X_{1}, \dots, X_{n})

genau dann suffizient für den Verteilungsparameter

b

ist, falls die Likelihoodfunktion faktorisiert werden kann gemäß

L (x_{1}, \dots, x_{n}; b) = \prod_{i = 1}^{n} f_{b} (x_{i}) \overset{!}{=} h (x_{1}, \dots, x_{n}) \cdot g (T (x_{1}, \dots, x_{n}), b)

mit passend gewählten Funktionen

g, h

. D.h., der

b

-abhängige Teil des Produkts hängt von den

x_{1}, \dots, x_{n}

dann nur noch indirekt über

T

ab.

Dann stell doch mal hier für dein konkretes Problem diese Likelihoodfunktion auf: Es ist

f_{b} (x) = \frac{1}{b} \cdot 1_{[0, b]} (x)

mit Indikatorfunktion

1_{[0, b]}

des Intervalls

[0, b]

. Daraus folgt

L (x_{1}, \dots, x_{n}; b) = \prod_{i = 1}^{n} (\frac{1}{b} \cdot 1_{[0, b]} (x_{i})) = \frac{1}{b^{n}} \cdot \prod_{i = 1}^{n} 1_{[0, b]} (x_{i}) = \frac{1}{b^{n}} \cdot 1_{[0, b]} (max {x_{1}, \dots, x_{n}})

Bei der letzten Gleichheit solltest du genau nachdenken und überlegen, warum die gilt!

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