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Summatorische möbiusfunktion

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

Bertha123 aktiv_icon

10:10 Uhr, 19.07.2018

Hallo, könnte mir jemand erklären, warum =∑µ(d)=∑µ(p^v)=+1-1

= 0

ist ?

ledum aktiv_icon

12:54 Uhr, 19.07.2018

Hallo
worüber wird summiert? was ist d?
bitte genauere Angaben
Gruß ledum

Bertha123 aktiv_icon

13:14 Uhr, 19.07.2018

für die summatorische Funktion der -Funktion gilt ∑µ(d)=1 für

n = 1

und 0 für

n > 1 (d

sind alle Teiler von

n)

denn für alle Primpotenzen

> 1

gilt ∑µ(d)=∑µ(p^v)=1+(-1)=0

anders gesagt gilt

µ*1=

Bertha123 aktiv_icon

13:14 Uhr, 19.07.2018

für die summatorische Funktion der -Funktion gilt ∑µ(d)=1 für

n = 1

und 0 für

n > 1 (d

sind alle Teiler von

n)

denn für alle Primpotenzen

> 1

gilt ∑µ(d)=∑µ(p^v)=1+(-1)=0

anders gesagt gilt

µ*1=

ermanus aktiv_icon

17:40 Uhr, 19.07.2018

Hallo Bertha123,
zunächst einmal möchte ich ledum 100-prozentig zustimmen darin,
dass sie dich auffordert, deine "mathematische Kommunikation" zu verbessern.
Gerade als "Newcomerin" solltest du dir von vorn herein angewöhnen,
die Symbole, die du verwendest, zu definieren, bei Summen und
Produkten klar zu sagen, über welchen Summandenbereich oder Faktorenbereich diese
zu erstrecken seien, ferner ob deine "Größen" ganze Zahlen sind oder reelle Zahlen
oder nur positive ganze Zahlen oder was auch immer.
Zufällig kenne ich den Buchstaben

μ

als Bezeichner für die Möbiusfunktion.
Aber was ist deine "

1

" in

μ * 1

? Ich ahne ja,
dass es die konstante Funktion

n \mapsto 1

sein soll, das alles musst
du deinem Leser aber auch mitteilen. Du musst ihm auch sagen, dass der "

*

"
das Dirichlet- (Faltungs-) Produkt darstellen soll.
Und zum Schluss solltest du dem Leser auch noch genauestens darüber informieren,
was deine eigentliche Frage ist.

Zu deinem "eigentlichen Problem" melde ich mich gleich wieder ;-)

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

22:09 Uhr, 19.07.2018

Nun wie versprochen die Beispiele.
Seien in der Folge

n

eine natürliche Zahl,

p, p_{1}, p_{2}, \dots

Primzahlen.

1.

n = p

. Dann gilt:

\sum_{d ∣ n} μ (d) = μ (1) + μ (p) = 1 + (- 1) = 0

.

2.

n = p^{v}

mit natürlichem Exponenten

v \geq 1

\sum_{d ∣ n} μ (d) = μ (1) + μ (p) + μ (p^{2}) + \dots + μ (p^{v}) = 1 + (- 1) + 0 + \dots + 0 = 0

.

3.

n = p_{1}^{v_{1}} p_{2}^{v_{2}}

(

v_{1}, v_{2} \geq 1

) :

\sum_{d ∣ n} μ (d) = \sum_{r = 0}^{v_{1}} \sum_{s = 0}^{v_{2}} μ (p_{1}^{r} p_{2}^{s}) = \sum_{r = 0}^{1} \sum_{s = 0}^{1} μ (p_{1}^{r} p_{2}^{s}) = 1 + μ (p_{1}) + μ (p_{2}) + μ (p_{1} p_{2}) =

= 1 + μ (p_{1}) + μ (p_{2}) + μ (p_{1}) μ (p_{2}) = (1 + μ (p_{1})) (1 + μ (p_{2})) =

= (1 + (- 1)) (1 + (- 1)) = (1 - 1)^{2} = 0^{2} = 0

.

4. Versuche nun

n = p_{1}^{v_{1}} p_{2}^{v_{2}} p_{3}^{v_{3}}

ebenso zu behandeln ...

5. Verallgemeinere dein Ergebnis ...

Gruß ermanus

Bertha123 aktiv_icon

00:18 Uhr, 20.07.2018

ihr habt Recht, daran muss ich echt arbeiten!

Vielen ,vielen Dank für die (wieder einmal) so ausführliche Antwort,habe alles verstanden :-)

sprtka aktiv_icon

16:10 Uhr, 20.07.2018

Markiere dann die Frage bite auch als erledigt :-) LG

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