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Summe

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Tags: Analysis

Randolph Esser aktiv_icon

21:29 Uhr, 11.11.2026

Hallo,

man zeige: Für

x \in ℝ

mit

0 < x < 1

gibt es eine Folge natürlicher Zahlen

1 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < ...,

sodass

x = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{k}}

Randolph Esser aktiv_icon

23:08 Uhr, 11.11.2026

Also, ich bastel mal was:

Wir konstruieren induktiv eine Folge natürlicher Zahlen

1 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < ...,

sodass

x = \sum_{k = 1}^{m} \frac{1}{n_{k}} + r_{m}

mit

0 < r_{m} \leq \frac{1}{n_{m}}

für alle

m \in ℕ_{> 0}

.
Wegen

\frac{1}{n_{m}} \to 0 (m \to \infty)

folgt dann die Behauptung.

(I A) m = 1 :

Wähle

n_{1}

minimal, sodass

\frac{1}{n_{1}} < x

.
Wegen

x < 1

gilt dann

n_{1} > 1

.
Angenommen,

x - \frac{1}{n_{1}} > \frac{1}{n_{1}}

.
Dann gilt

\frac{1}{n_{1} - 1} \leq \frac{2}{n_{1}} < x

und wir erhalten
einen Widerspruch zur Wahl von

n_{1}

bzw. zu

x < 1,

falls

n_{1} = 2

.
Also gilt

0 < r_{1} := x - \frac{1}{n_{1}} \leq \frac{1}{n_{1}}

(I S) m \to m + 1 :

Gelte für ein

m \in ℕ_{> 0}

bereits

1 < n_{1} < n_{2} < ... < n_{m}

und

x = \sum_{k = 1}^{m} \frac{1}{n_{k}} + r_{m}

mit

0 < r_{m} \leq \frac{1}{n_{m}}

.
Wir wählen

n_{m + 1}

minimal, sodass

\frac{1}{n_{m + 1}} < r_{m}

.
Wegen

r_{m} \leq \frac{1}{n_{m}}

gilt dann

n_{m + 1} > n_{m}

und insbesondere also

n_{m + 1} > 2

.
Angenommen,

r_{m} - \frac{1}{n_{m + 1}} > \frac{1}{n_{m + 1}}

.
Dann gilt

\frac{1}{n_{m + 1} - 1} < \frac{2}{n_{m + 1}} < r_{m}

und wir erhalten
einen Widerspruch zur Wahl von

n_{m + 1}

bzw. zu

r_{m} < \frac{1}{n_{m}},

falls

n_{m} = n_{m + 1} - 1

.
Also gilt

0 < r_{m + 1} := r_{m} - \frac{1}{n_{m + 1}} \leq \frac{1}{n_{m + 1}}

michaL aktiv_icon

09:19 Uhr, 12.11.2026

Hallo miteeinander,

so, ich musste mich erst einmal durch ein paar Beispiele kämpfen.
Ich glaube, dein Beweis enthält Fehler. Kann es sein, dass du nicht

n_{1}

minimal meinst, sondern maximal?
Vielleicht habe ich auch nur deinen Beweis nicht hinreichend durchleuchtet.

Meine Vorgehensweise wäre die folgende:

x

ist als Dezimalbruch zu sehen. nun nehme ich mir die erste Nachkommastelle

x_{- 1}

von

x

her.
Davon ziehe ich
*

\frac{1}{2}

ab, falls

x_{- 1} \in {6, 7, 8, 9}

\frac{1}{3}

ab, falls

x_{- 1} \in {4; 5}

\frac{1}{5}

ab, falls

x_{- 1} = 3

\frac{1}{6}

ab, falls

x_{- 1} = 2

\frac{1}{11}

ab, falls

x_{- 1} = 1

Daraus ergibt sich eine kleinere Zahl

y

, mit der ich genauso verfahre wie oben.

Ist die erste Nachkommastelle 0, so verzehnfache ich

x

und fange wieder wie oben an.

Natürlich müsste ich den Beweis noch formalisieren, ich denke aber, dass man damit erreicht, was du suchst.
Auch sollte deutlich werden, dass die gesuchte Darstellung nicht eindeutig ist.
Beginnt man das Verfahren mit

x = 0, 4

und mit

x = 0, 3 \overline{9}

, so sollte man schon in der ersten Zahl einen Unterschied erhalten.

Falls eine Formalisierung gefordert ist, mache ich mich der Tage dran. Auch bei mir liefe es wohl auf eine vollständige Induktion hinaus.

Mfg Michael

PS: Schön, dass du versuchst, dieses Forum am Laufen zu halten.

Jumanji

09:55 Uhr, 12.11.2026

@michaL
es muss minimal sein (weil es im Nenner steht).
Nimm bei Deinem Ansatz

x = 0,199

. Du willst

\frac{1}{11}

abziehen, ergibt etwa

0,108 -

die erste Stelle ist weiterhin eine 1.
Du müßtest also nochmal

\frac{1}{11}

abziehen, was der Forderung widerspricht.
Dein Ansatz müßte also modifiziert werden, damit er funktioniert.
Das mit der Nicht-Eindeutigkeit ist korrekt.

michaL aktiv_icon

10:37 Uhr, 12.11.2026

Hallo miteinander,

ja, Denkfehler mit dem Kehrwert. Hm. Außer Übung, würde ich sagen.
Danke!

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

14:47 Uhr, 12.11.2026

Hallo,

Danke fürs Feedback. Ich sehe keine Fehler,
finde den Beweis ganz gelungen.
Ja, michaL, ich übe hier quasi live,
wo mein Studium gerade etwas stagniert
(mache in diesem Semester kein Modul,
nur ein paar Kurse).
Ich sehe nicht ein, dass jetzt nur noch
nach KI getanzt werden soll
(ich hasse den KI-Hype).
In ein paar Jahren haben wir nur noch Vollidioten,
die nicht mehr von

12

bis mittag denken können,
diese Tendenz ist ja jetzt schon deutlich sichtbar...

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