Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Summe, Schnitt affiner Unterräume

Summe, Schnitt affiner Unterräume

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Vektorraum

Hammerman aktiv_icon

22:26 Uhr, 17.04.2024

Es seien

V, V'

Vektorräume über einem Körper

K

und

A \subset V

sowie

A' \subset V'

affine Unterräume. Man zeige:

1)

Für eine lineare Abbildung

f : V \to V'

ist

f (A)

ein affiner Unterraum von

V'

und

f^{- 1} (A')

ein affiner Unterraum von V.

2)

Für

V = V'

sind

A + A' = {a + a'; a \in A, a' \in A'}

und

A \cap A'

affine
Unterräume von

V

3)

Es ist

A x A'

ein affiner Unterraum von

V x V',

wobei man

V x V'

mit
komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation als K-Vektorraum
auffasse.

Zu

1)

sei

A = a + U, w \in A : w = a + u, f (w) = f (a + u) = f (a) + f (u)

dann ist

f (a) + f (U)

ein affiner unterraum, da

f

die Vektorraumstruktur von

U

erhält. und umgekehrt genauso

f^{- 1}

. Kann man das so sagen?

zu

2)

hier bin Ich verwirrt.

z . b

. Ist eine Gerade im

ℝ^{2}

ein affiner Unterraum. wenn sich 2 Geraden schneiden, wie kann der einzelne Pkt. ein affiner unterraum sein?

zu 3)habe Ich ehrlich gesagt keinen Ansatz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KartoffelKäfer aktiv_icon

01:50 Uhr, 18.04.2024

1)

Sei

A = a + U

mit

a \in V, U \subset V

Unterraum.

Dann gilt wegen

f (a + u) = f (a) + f (u)

für alle

u \in U,

dass

f (a + U) = f (a) + f (U)

und

f (U) \subset V'

ist ein Unterraum (Satz).

Nun zu

A' :

Falls

f^{- 1} (A') = \emptyset,

sind wir fertig,

denn

\emptyset \subset V

ist per Definition ein affiner Unterraum.

Andernfalls gibt es ein

b \in V',

sodass

f^{- 1} (b) \neq \emptyset

und

A' = b + U'

mit

U' \subset V'

Unterraum .

Wähle ein

c \in f^{- 1} (b)

beliebig.

Dann ist

c + f^{- 1} (U')

ein affiner Unterraum von

V,

f^{- 1} (U') \subset V

ein Unterraum ist (Satz),

und zudem gilt

c + f^{- 1} (U') = f^{- 1} (b + U')

.

Denn für

d \in f^{- 1} (b + U')

beliebig gibt es ein

u' \in U',

sodass

f (d) = b + u',

und daraus folgt wegen

b + u' = f (d) = f (c + (d - c)) = f (c) + f (d - c) = b + f (d - c),

dass

u' = f (d - c)

und somit

d - c \in f^{- 1} (U'),

also schlussendlich, dass

d = c + (d - c) \in c + f^{- 1} (U')

KartoffelKäfer aktiv_icon

04:47 Uhr, 18.04.2024

2)

〉 〉

Hier nur der nicht - triviale Teil, dass

A \cap A'

ein affiner Unterraum von

V

ist.

〈 〈

Falls

A \cap A' = \emptyset,

sind wir schon fertig.

Andernfalls sei

A = a + U, A' = b + U'

mit

a, b \in V

und Unterräumen

U, U' \subset V

.

Behauptung:

Für

c \in A \cap A'

beliebig gilt

c + (U \cap U') = A \cap A'

.

Beweis:

Sei

d \in c + (U \cap U')

beliebig.

Dann gilt

d = c + u

für ein

u \in U \cap U'

und zudem

c = a + v = b + v'

für ein

v \in U

sowie ein

v' \in U'

.

Es folgt

d = a + v + u \in A

und

d = b + v' + u \in A',

also

d \in A \cap A',

und somit gilt

c + (U \cap U') \subset A \cap A'

.

Sei nun

d \in A \cap A'

beliebig.

Wegen

c, d \in A

gibt es

u, v \in U,

sodass

d = a + u

und

c = a + v,

woraus

d - c = u - v \in U

folgt.

Wegen

c, d \in A'

gibt es

u', v' \in U',

sodass

d = b + u'

und

c = b + v',

woraus

d - c = u' - v' \in U'

folgt.

Daraus folgt

d = c + (d - c) \in c + (U \cap U')

und somit gilt auch

A \cap A' \subset c + (U \cap U'),

also insgesamt

c + (U \cap U') = A \cap A'

.

Und übrigens: Wenn

x \in R^{2}

der einzige Schnittpunkt

zweier Geraden ist, so ist deren Schnittmenge

{x}

identisch mit dem affinen Unterraum

x + {0}

3)

Trivial.

Hammerman aktiv_icon

14:02 Uhr, 18.04.2024

Vielen lieben Dank erstmal.
Ich habe noch eine Frage zum Thema, auch wenn es nicht direkt auf die Aufgabe bezogen ist:
In meinem Skript unter Definition steht, die Menge

v + W

nennt man auch affinen K-Untervektorraum.(v in

V, W

ist Untervektorraum von

V)

wenn Ich aber

b = v + w

und a=v+w´, dann ist doch

a + b

=2v+w+w´ nicht in

v + W

enthalten?!?

KartoffelKäfer aktiv_icon

14:42 Uhr, 18.04.2024

Mir gefällt Deine schlampige Art nicht.

Sei

V

ein

K -

Vektorraum,

v \in V, W

Unterraum von

V

und

a, b \in v + W

.

Dann kann

a + b \in v + W

gelten

(z . B .,

wenn

v = 0

gilt)

oder auch nicht

(z . B .,

wenn

v = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \in R^{2}

gilt und

W = L i n ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})) \subset R^{2}

gilt).

Na und ? Hat irgendjemand gesagt, dass

a + b \in v + W

gelten muss ?

Ich habe selber momentan viel zu tun

und keine Zeit und Lust, mich hier abzuarbeiten .

Nimm Dir von meinem Beitrag, was Du gebrauchen kannst,

oder klatsch ihn an den Wand, für mich war es nur

eine Trainingseinheit und ich habe hier jetzt fertig

und verabschiede mich von diesem Thread, yo !

1584779

1584765

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?