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Summe berechnen - Binomischer Lehrsatz

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Tags: Binomischer Lehrsatz, summe berechnen, variablen transformation

Jaki123 aktiv_icon

12:57 Uhr, 16.04.2012

Hallo bräuchte Hilfe bei folgender Rechnung:

Und zwar muss ich die Summe dieses Ausdrucks mithilfe des Binominschen Lehrsatzes berechnen.

$\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) k \cdot 5^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{n!}{k! (n - k)!} \cdot k \cdot 5^{k}) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n (n - 1)!}{k (k - 1)! (n - k)!} \cdot k \cdot 5^{k} = n \sum_{k = 0}^{n} \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} \cdot 5^{k}$

Und da weiss ich nicht mehr weiter!?

Naja ich hoffe jemand kann mir da ein bisschen weiterhelfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Paulus

13:12 Uhr, 16.04.2012

Hallo Jaki

ich befürchte, so wirst du kaum eine Antwort erhalten.

Man weiss ja gar nicht, was denn nun deine Frage überhaupt ist.

Gruss

Paul

Jaki123 aktiv_icon

13:39 Uhr, 16.04.2012

Habs nochmal editiert.

Hoffe es ist jetzt etwas deutlicher.

Also im GRunde weiss ich einfach nicht wie ich da jetzt weiterrechnen bzw. umformen muss.

Paulus

14:13 Uhr, 16.04.2012

Ist das ein Teil eines Induktionsbeweises?

Nun: der erste Summand ist ja Null (also bei

k = 0)

.

Deshalb kann man

k

von 1 beginnen:

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) k \cdot 5^{k} =

\sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) k \cdot 5^{k} =

\sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} \cdot k \cdot 5^{k} =

\sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} \cdot 5^{k}

Wenn du nun den Index wieder von Null an laufen lässt, dann musst du in der Summe jedes

k

um eins erhöhen, dafür läuft

k

dann aber nur bis

n - 1 :

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{n!}{k! (n - k - 1)!} \cdot 5^{k + 1} =

n \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{k! (n - k - 1)!} \cdot 5^{k + 1} =

n \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} (\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) \cdot 5^{k + 1}

Hilft das etwas weiter?

Gruss

Paul

Jaki123 aktiv_icon

14:49 Uhr, 16.04.2012

Danke für deine Antwort :)

Also hab mal das gefunden matheraum.de/forum/Summe_mit_binomischen_Lehrsatz/t638449

ist so ähnlich nur das der Index k = 1 ist.

Bei mir ist er halt 0.

Was ich bei deiner Antwort aber jetzt nicht verstehe ist:

1: Muss ich nicht das k in der summe anpassen also (k-1), wenn ich es im Index erhöhe? (0 -> 1) Sowie auch n+1 ?

2: wie wird die vorletzte Summe zur letzten so umgewandelt wie du es gemacht hast? Die ! fallen weg aber warum?

Danke schon im Voraus

Lg Jakob

Paulus

15:22 Uhr, 16.04.2012

Hallo Jaki

dich verstehe deien 1. Frage nicht.

Ein Beispiel:

n = 4

.

Dann ist die Summe doch

(\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot 0 \cdot 5^{0} + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot 5^{1} + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 2 \cdot 5^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 3 \cdot 5^{3} + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4 \cdot 5^{4} =

(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot 5^{1} + (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot 2 \cdot 5^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot 3 \cdot 5^{3} + (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4 \cdot 5^{4}

Hier siehst du doch, das sich das, welches sich von Summand zu Summand erhöht (also das

k),

nun einfach bei 1 beginnt, aber immer noch bis 4 läuft (das ist ja das

n)

Deshalb bleibt die obere Grenze erhalten. Also so:

\sum_{k = 1}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot k \cdot 5^{k}

Dann verstehe ich deine zweite Frasge auch nicht: ich habe ja lediglich die Definition von

(\begin{matrix} N \\ k \end{matrix})

eingesetzt:

(\begin{matrix} N \\ k \end{matrix}) = \frac{N!}{k! (N - k)!}

Mit

n = N - 1

ergibt sich doch

(\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) = \frac{(n - 1)!}{k! (n - 1 - k)!} = \frac{(n - 1)!}{k! (n - k - 1)!}

(lediglich von rechts nach links gelesen)

Gruss

Paul

Jaki123 aktiv_icon

12:32 Uhr, 17.04.2012

Also danke für deine Hilfe habs auch fast verstanden ;-)

Jedenfalls hab ich mal ein Bild von einer fast gleichen Rechnung hochgeladen und wüsste dazu noch gtern wieso bei Punkt

2)

die Umformung abläuft also bei Schritt 3 zum "Ergebnis".

Wär echt nett wenn mir das noch jemand erklären könnte.

Danke

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