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Summe der Einheitsvektoren bilden

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 6. Klassenstufe

Tags: Einheitsvektor

TommyC aktiv_icon

13:56 Uhr, 11.11.2010

Hallo Forum,

Ich stehe gerade vor einem Problem. Ich soll aus gegebenen Vektoren:

VektorA(12/9) und VektorB(24/10) die Summe der Einheitsvektoren bilden.

So weit ich weiss, lautet die Formel zur Berechnung des Betrages des Vektors:

Betrag

= \sqrt{}

(12²+9²)

Den Betrag rechne ich sowohl von VektorA als auch von VektorB aus.

Mit diesem Betrag werden die jeweils einzelnen Komponenten des Vektors dividiert. Der Betrag von VektorA wird mit beiden Komponenten des VektorsA dividiert und der Betrag des VektorsB wird mit beiden Komponenten des VektorsB dividiert.

Schlussendlich addiere ich dann jeweils die Komponente

x

des Vektors A mit der Komponente

x

des Vektors

B

und die Komponente

y

des Vektors A mit der Komponente

y

des Vektors B.

So jedenfalls dachte ich, dass es funktioniert. Mein Ergebnis stimmt aber leider nicht mit dem Ergebnis überein, dass meine Professorin für richtig angegeben hat. Sie erhält nämlich:

(\frac{7}{4})

Kann mir bitte jemand aufzeigen was ich verkehrt mache ?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Vektorprodukt

vulpi aktiv_icon

14:17 Uhr, 11.11.2010

Hallo,
überleg mal:
Wie groß kann denn der Betrag der Summe 2er Einheitsvektoren maximal werden ?
Doch wohl kaum mehr als

2,

oder ?

Kommt dann der Vektor

(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})

überhaupt in Betracht ?

Tipp:
Wenn man bedenkt, dass alleine beide Komponenten schon jeweils

> 2

sind !

lg

TommyC aktiv_icon

14:31 Uhr, 11.11.2010

Hallo Vulpi,

Das Ergebnis

(\frac{7}{4})

ist das Ergebnis, dass meine Professorin errechnet hat. Es ist nicht mein Ergebnis. Jedoch meine ich, dass meine Professorin hinsichtlich ihrer Kompetenz der meinen überlegen sein sollte und somit vertraue ich ihrer Antwort mehr als der meinen. Gibt es keine Möglichkeit, sich an irgendeiner Stelle verrechnet zu haben, sodass das Endergebnis mit

(\frac{7}{4})

letztlich doch seine Gültigkeit erweist ?

vulpi aktiv_icon

14:43 Uhr, 11.11.2010

Hi,
war mir schon bewußt , dass du richtig gelegen bist, ist ja aus
deinem Text ersichtlich :-)

Stimmst du meiner Argumentation zu ?

TommyC aktiv_icon

14:49 Uhr, 11.11.2010

Ich weiss nicht ob ich dir zustimme. Es wäre nicht schlecht, wenn sich noch jemand zu Wort melden könnte. Mir ist nicht ersichtlich wie mir klar sein kann, dass es nicht mehr als 2 ist. Kannst du das begründen ?

vulpi aktiv_icon

14:54 Uhr, 11.11.2010

Hi, schau noch mal nach, ob die Aufgabenstellung wirklich genau so wie im Posting lautet.

EINHEITS-Vektoren haben einem Betrag, also Länge von EINS, darum heißen sie so.

Also kann keine Komponentne

> 1

sein, weil

1^{2} +

nochwas^2 immer MEHR als 1 ist.

So, wie soll dann bei der Addition von 2 Vektoren irgendeine Komponente absolut größer als 2 werden können ???

Stimmt die Aufgabe wirklich so ?

(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})

ist NICHT die Vektorsumme von 2 EINHEITS-Vektoren,
sondern das Ergebnis einer ANDEREN Aufgabe !

lg

P . S :

Wenn immer noch Zweifel:
Mal einen Einheitsvektor aufs Blatt (egal welcher Maßstab)
Am Ende des Vektors mit dem Zirkel einen Kreis mit der Vektorlänge als Radius
herum malen.
Anfang des Vektors bis Kreispunkt sind alle mögliche Vektorsummen.
So, welche Verbindung ist dann über 8 Radien lang ?

TommyC aktiv_icon

15:07 Uhr, 11.11.2010

Hallo,

Nein, das Ergebnis bezieht sich exakt auf dieses Beispiel. Ich bin ja nicht blind und habe nun schon mehrmals nachgeschaut.

Die Angabe lautet: Bilden sie die Summe der Einheitsvektoren der gegebenen Vektoren und geben sie diesen Summenvektor als vereinfachten Richtungsvektor an.

vulpi aktiv_icon

15:12 Uhr, 11.11.2010

Hi,
"und geben sie diesen Summenvektor als vereinfachten Richtungsvektor an"

1. Version
"Ich soll aus gegebenen Vektoren:
VektorA(12/9) und VektorB(24/10) die Summe der Einheitsvektoren bilden."

Der vereinfachte Richtungsvektor ist eben NICHT mehr die SUMME, sondern ein
Vielfaches davon.
Ist halt schlecht, wenn man Aufgaben nicht original zitiert.

lg

TommyC aktiv_icon

15:16 Uhr, 11.11.2010

Entschuldige, es war demnach meine Fehlinterpretation der Aufgabenstellung. Unter einem vereinfachten Richtungsvektor kann ich mir gar nichts vorstellen. Somit ist mein Fragezeichen größer und ich weiss nicht wie ich es rechnen soll. Kannst du es mir erklären ?

vulpi aktiv_icon

15:36 Uhr, 11.11.2010

Hi, den ersten Schritt, also die Summe der Einheitsvektoren hast du ja bereitd erledigt.
Brüche aber nicht ausrechnen, sondern erst mal stehen lassen, damit man dann nach
günstigen Faktoren suchen kann.

Also

\vec{e_{A}} = \frac{1}{15} (\begin{matrix} 12 \\ 9 \end{matrix}) = \frac{1}{5} (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})

\vec{e_{B}} = \frac{1}{26} (\begin{matrix} 24 \\ 10 \end{matrix}) = \frac{1}{13} (\begin{matrix} 12 \\ 5 \end{matrix})

\vec{e_{A}} + \vec{e_{B}} = \frac{1}{5} (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) + \frac{1}{13} (\begin{matrix} 12 \\ 5 \end{matrix})

= \frac{1}{65} (\begin{matrix} 52 \\ 39 \end{matrix}) + \frac{1}{65} (\begin{matrix} 60 \\ 25 \end{matrix})

= \frac{1}{65} (\begin{matrix} 112 \\ 64 \end{matrix})

So, das ist die Summe der Einh.Vektoren
Jetzt such einen Richtungsvektor in der Richtung, also ein Vielfaches
mit "einfachen", kleinen ganzen Zahlen.

\vec{r_{i}} = (\begin{matrix} 112 \\ 64 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 56 \\ 32 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 28 \\ 16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})

Irgegend jemand verrechnet sich hier dauernd :-)

Falls ich meinen Fehler finde, komm ich wieder...

UUPS!
Fehlerteufel gefunden und korrigiert :-)

DmitriJakov aktiv_icon

16:08 Uhr, 11.11.2010

Der Fehler war von hier in die nächste Zeile:

\vec{e_{A}} + \vec{e_{B}} = \frac{1}{5} (\begin{array}{rcl} 4 \\ 3 \end{array}) + \frac{1}{13} (\begin{array}{rcl} 12 \\ 5 \end{array})

= \frac{1}{65} (\begin{array}{rcl} 52 \\ 39 \end{array}) + \frac{1}{65} (\begin{array}{rcl} 60 \\ 25 \end{array})

= \frac{1}{65} (\begin{array}{rcl} 112 \\ 64 \end{array})

\vec{r_{i}} = (\begin{array}{rcl} 112 \\ 64 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 56 \\ 32 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 28 \\ 16 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 14 \\ 8 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 7 \\ 4 \end{array})

Mann. dauert Latex lang. Hoffentlich habe ich jetzt vulpi nicht vorgegriffen.

TommyC aktiv_icon

16:12 Uhr, 11.11.2010

Ich verstehe nicht welche Rechenvorgänge man beim addiren unternehmen muss. Kannst du mir das erklären ?

DmitriJakov aktiv_icon

16:21 Uhr, 11.11.2010

\frac{1}{5} \cdot 4 + \frac{1}{13} \cdot 12 \to

Nenner gleichnamig machen:

\frac{1}{65} \cdot 4 \cdot 13 + \frac{1}{65} 12 \cdot 5 = \frac{1}{65} \cdot (52 + 60) = \frac{1}{65} \cdot 112

Es ist eigentlich genau so, wie Du es im ersten Post schon beschrieben hast.

TommyC aktiv_icon

23:51 Uhr, 11.11.2010

Hallo,

Also erstmal vielen Dank für´s helfen. Ich habe jetzt dank euch verstanden wie man es rechnet. Nun habe ich die nächste Rechnung probiert und stoße auf ein Problem. Es wird das selbe verlangt wie vorhin. Diesmal jedoch ergibt sich eine Dezimahlzahl die sich nicht in einen Bruch wandeln lässt. Wie errechne ich dies ?

VektorA

= (\frac{7}{5})

und VektorB

= (\frac{1}{6})

Lg
Tommy

DmitriJakov aktiv_icon

08:21 Uhr, 12.11.2010

Rechne mal den Betrag der beiden Vektoren aus:
Betrag Vektor A:

\sqrt{7^{2} + 5^{2}} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}

Betrag Vektor B:

\sqrt{1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}

Fällt Dir was auf? 37 ist gerade mal die Hälfte von 74
Man kann den Betrag jetzt auch so schreiben:
Betrag Vektor A:

\sqrt{2 * 37} = \sqrt{2} * \sqrt{37}

Versuch jetzt mal von hier aus weiter zu kommen.

TommyC aktiv_icon

13:10 Uhr, 12.11.2010

Hallo Dmitri,

Ich steh auf dem Schlauch. Ich habe jetzt

\sqrt{2} \cdot \sqrt{37}

. Nur, was mache ich damit ? Wenn ich die Wurzel ziehe erhalte ich Dezimahlzahlen. Multipliziere ich, erhalte ich wieder

74

TommyC aktiv_icon

13:49 Uhr, 12.11.2010

Ich zeuge euch jetzt was ich gerechnet habe, aber anhand des Ergebnisses, weiss ich, dass meine Lösung nicht stimmt. Vielleicht zeigt mir jemand auf wo es nicht stimmt.

VektorA

= 1 : \sqrt{2} \cdot \sqrt{37} (\frac{7}{5})

VektorB

= 1 : \sqrt{37} (\frac{1}{6})

VektorA

= 1 : \sqrt{74} (\frac{7}{5})

VektorB

= 1 : \sqrt{74} (\frac{2}{12})

VektorA

+

VektorB

= 1 : \sqrt{74} (\frac{9}{17})

Ergebnis sollte lauten:

(\frac{152}{129})

TommyC aktiv_icon

18:42 Uhr, 12.11.2010

Hallo,

Kann mir bitte jemand helfen diese Aufgabe zu lösen ?

Danke

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