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Summe der Reihe berechnen

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Folgen und Reihen

Komplexe Zahlen

Tags: Folgen und Reihen, Komplexe Zahlen

simplyme aktiv_icon

19:58 Uhr, 18.02.2018

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe hier.
Zu berechnen ist

a .) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{i}{2^{n}} + \frac{2}{3^{n}}

b .) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot {(\frac{i \cdot π}{2})}^{n}

Darf ich bei der

a .)

die Formel für geometrische Reihen benutzen, also

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{j} = \frac{1}{1 - q}

? Was wäre dann hier mein q? Wäre mein

q

dann

\frac{i}{2}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

20:15 Uhr, 18.02.2018

\sum_{1}^{\infty} (\frac{i}{2^{n}} + \frac{2}{3^{n}}) = 2 \cdot \sum_{1}^{\infty} (\frac{1}{3^{n}}) + i \cdot \sum_{1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n}})

.. und wo siehst du da noch ein Problem ?

.

simplyme aktiv_icon

20:39 Uhr, 18.02.2018

Ah ok vielen Dank.
Können Sie mir auch noch bei der

b .)

helfen.
Also ich hab ja

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot {(\frac{i \cdot π}{2})}^{n}

Ich kann das ja auftrennen zu:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{i \cdot π}{2})}^{n}

Und die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

ist die Exponentialreihe oder?

Und wenn ich

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{i \cdot π}{2})}^{n}

nehme und umschreibe zu

i \cdot π \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

das mit

\frac{1}{1 - q}

versuche zu lösen kommt da aber

i \cdot π \cdot 2

raus. Als Endergebnis würde ich

e \cdot 2 i \cdot π

erhalten. Aber in der Lösung steht nur

i

. Was mache ich falsch?

abakus

21:35 Uhr, 18.02.2018

"Ich kann das ja auftrennen zu:..."

NEIN!

Es handelt sich hier um eine sehr bekannte Reihenentwicklung.

Respon

22:24 Uhr, 18.02.2018

Hinweis :
Die geraden Potenzen von

i

sind jeweils 1 und

- 1,

die ungeraden jeweils

i

und

- i

simplyme aktiv_icon

22:27 Uhr, 18.02.2018

Wie meinen Sie das jetzt?
Also ich hab das jetzt in meinem Skript gefunden:

e^{x} =

exp

x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^{n}

Wenn ich das auf meine jetzige Aufgabe anwende erhalte ich doch als Lösung

e^{i \cdot \frac{π}{2}}

?
Aber das ist ja wieder nicht die richtige Lösung. Ich steh gerade aufm Schlauch...

Respon

22:29 Uhr, 18.02.2018

e^{i \cdot \frac{π}{2}} = cos (\frac{π}{2}) + i \cdot sin (\frac{π}{2}) = . .

simplyme aktiv_icon

22:32 Uhr, 18.02.2018

Ahhhh ok vielen vielen Dank. Sie sind echt eine große Hilfe

Respon

22:34 Uhr, 18.02.2018

Zu meiner Bemerkung weiter oben: Ich habe über die geraden und ungeraden Exponenten direkt die Reihenentwicklung zu

cos (. .

. ) und

sin (...)

angepeilt. Dein Weg ist natürlich kompakter.

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