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Summe der Teiler

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Tags: Algebraische Zahlentheorie, Analytische Zahlentheorie, Elementare Zahlentheorie, Kryptologie, Primzahl, Primzahltests, Teilbarkeit

mightyguineapig aktiv_icon

15:34 Uhr, 27.11.2009

Hallo da es wieder Wochenende wird kommen natürlich auch wieder neue Fragen :-) vielen Dank, dass ihr bisher alle beantwortet habt!!!

Heute habe ich folgende Aufgaben bekommen bei denen ich nicht weiter komme.

Aufgabe 2:

(a)

Finden Sie zwei Zahlen mit der Teiler summe

868

(b)

Finden Sie eine Zahl mit

ρ (x) \geq 4

(c)

Finden Sie eine Zahl

x,

deren Quadrat Defizient ist, deren dritte Potenz aber abundant ist.

Bei der

a)

hatte ich keine großen Probleme, da hab ich als Zahlen

2^{2} + 3 + 5^{2} = 300

und

13 \cdot 61 = 793

auf die Zahlen bin ich anhand der Formel zur Berechnung von Teiler summen gekommen: sigma(868)=(1+p1+p1^2+...+p1^an) indem ich überlegt habe wie viel mal be-stimmte Primzahlen

+ 1868

ergibt.

(z . B

28 \cdot 31 = 868)

und diese aus Primzahlen

+ 1

dargestellt ergibt

(1 + 2 + 2^{2}) \cdot (1 + 3 + 3^{2}) \cdot (1 + 5 + 5^{2}) = 868

und dasselbe mit

14 \cdot 62 = 868

. So bin ich auf

300

und

793

gekommen.

b)

Ich weiß leider nicht was

ρ (x)

bedeutet habe ich noch nie gesehen, wäre sehr nett wenn mir einer erklären könnte was hier gemeint/gesucht ist.

c)Ich weiß, dass eine Zahl

N

abundant heißt, falls

σ (n) - N > N

und defizient, falls

σ (N) - N < N

woraus ich schließe, dass die Summe der möglichen Teiler der gesuchte Zahl zum Quadrat

- N < N

sein muss. Wobei

N

die gesuchte Zahl zum Quadrat ist.
Und die Summe der möglichen Teiler der gesuchten Zahl hoch

3 - N > N

sein muss. Wobei

N

die gesuchte Zahl hoch 3 ist.

Da hab ich für

x = 6

6^{2} σ (36) = 99 - 6 = 3 < 6

(defizient),

6^{3} σ (216) = 600600 - 216 = 384 > 216

(abundant) Ist dass so richtig?

Aufgabe 3:
Zwei Zahlen werden als „befreundet“ bezeichnet, wenn die Summe der echten Teiler der ei-nen Zahl gleich der anderen Zahl ist und umgekehrt.
Also:

x

und

y

sind befreundet

\Leftrightarrow

σ(x) –

x = y

und σ(y) –

y = x

(a)

zeigen Sie, dass

220

und

284

befreundete Zahlen sind.

(b)

Zeigen Sie dass von zwei befreundeten Zahlen immer eine abundant und eine defizient ist.

(c)

Zeigen Sie, dass „x und

y

sind befreundet

\Rightarrow

σ(x) = σ(y)“ gilt,
„σ(x) = σ(y)

\Rightarrow x

und

y

sind befreundet“ aber nicht!

Wenn Sie eine Herausforderung suchen (nicht abgeben!), können Sie versuchen, Folgendes zu beweisen:
Wenn a=3•2n-1, b=3•2n-1-1 und c=9•22n-1-1 für ein und dasselbe

n

ungerade Primzahlen sind, dann sind x=2nab und y=2nc befreundete Zahlen. (Für

n = 2

ergibt sich übrigens

a = 11, b = 5, c = 71

und somit

x = 220

und

y = 284 .)

a)

iSt einfach man muss ja nur einsetzen

σ (220) = 504

und

σ (284) = 511

504 - 220 = 284511 - 284 = 227

also

227 \neq 220

also sind sie nicht befreundet!

bei

b

und

c

krieg ich keinen vernünftigen Ansatz, wäre also toll wenn mir einer Helfen könnte.

l . g

. Flo

PS:
Aufgabe 1 habe ich schon bis auf

d)

gelöst. Aber wenn einer Lust hat kann er gerne was zu

d)

oder auch dem rest der Aufgabe was schreiben. Mich würde interessieren ob es da verschiedene Ansatz Punkte gibt, ist aber nicht so wichtig.

Aufgabe

1 :

(a)

Berechnen Sie die Anzahl der Teiler der ersten

20

natürlichen Zahlen.

(b)

Formulieren Sie eine Vermutung, wann die Anzahl der Teiler einer Zahl ungerade ist. Bestätigen Sie Ihre Vermutung an einem Beispiel

N,

welches mindestens dreistellig ist.

(c)

Wählen Sie ein aussagekräftiges Beispiel aus und bereiten Sie es so auf, dass klar wird, warum Ihre Vermutung wahr ist.
(d)

(\cdot)

Können Sie Ihre Vermutung allgemein beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

hagman aktiv_icon

16:01 Uhr, 27.11.2009

Wenn du bei 1. mit

d)

angefangen hättest, hättest du die Arbeit mit

a, b, c

gespart.

Wenn

n

eine Quadratzahl ist,

n = k^{2},

können wir alle von

k

verschiedenen Teiler von

n

zu Zweiermengen der Fomr

{d, \frac{n}{d}}

gruppieren. Die Anzahl der Teiler von

n

ist daher die Anzahl solcher Paare mal zwei, zuzüglich ein weiterer Teiler

k,

also ungerade.
Wenn

n

keine Quadratzahl ist, können wir sogar alle Teiler zu soclhen Paaren

{d, \frac{n}{d}}

gruppieren.

-

Ich wollte gerade fragen wie ihr

ρ

definiert habt, scheinst

d

aber auch nicht zu weissen.

σ (36) - 36 = (1 + 2 + 4) \cdot (1 + 3 + 9) - 36 = 91 - 36 > 36

also abundant, soll nicht so sein
Check mal

n = 22

.

-

So einfach scheint

3 a)

doch nicht zu sein, wenn du ein "nicht befreundet" heraus bekommst.

Zu

b)

Beachte, dass eine der beiden Zahlen kleiner als die andere ist und die andere größer.
Zu

c)

Du kannst für die eine Aussage bei befereundeten Zahlen, sowohl

σ (x)

als auch

σ (y)

aus

x

und

y

extremst einfach berechnen.
As Gegenbeispiel für den zweiten Teil finde zwei Zahlen mit gleicher Teilersumme, die aber dennoch nicht befreundet sind. Hinweis: Du haszt heute schon zwei Zaheln mit gleicher Teilersumme gescuht nud gefunden.

mightyguineapig aktiv_icon

21:36 Uhr, 27.11.2009

Dass ist ja wirklich super nett, dass du dir immer die Zeit für meine Fragen nimmst :-)
Ich werde mir dass morgen früh noch mal alles genauer angucken sieht aber alles logisch aus.

Also noch mal vielen vieln dank

l . g

. Flo

mightyguineapig aktiv_icon

12:43 Uhr, 03.12.2009

Alles klar)

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