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Summe einer Potenzreihe berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

mathlanny aktiv_icon

11:30 Uhr, 14.07.2014

Hallo Ihr Lieben,
ich bin echt so langsam am verzweifeln. Ich hab hier eine Aufgabe, die ich schon 2 mal durchgesprochen hab aber selbst einfach nicht von alleine gelöst bekomme. Über eine Step-by-Step-Anleitung wäre ich unendlich dankbar!

Die Potenzreihe

\sum_{j = 0}^{\infty} (5 j - 4) (x + 2)^{j}

hat den Konvergenzradius 1 und konvergiert darum auf (−3−1). Ihre Summe ist eine rationale Funktion h:(−3−1) in R.

Geben Sie h(x) an.

---
Richtige Lösung soll wohl

5 (x + 2) / (1 - (x + 2))^{2} - 4 / (1 - (x + 2))

sein.

1. Mag mir jemand erklären wie ich die Aufgabe gelöst bekomme?
2. Kann WolframAlpha das auch irgendwie lösen (um weitere Beispiele/Lösungen zu prüfen?

Danke vielmals!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:45 Uhr, 14.07.2014

Zuerst mal ist

\sum_{j = 0}^{\infty} (x + 2)^{j} = \frac{1}{1 - (x + 2)}

- in dem Bereich

(- 3, - 1)

, das ist einfach geometrische Reihe.
Weiter können wir diese Gleichung ableiten:

(\sum_{j = 0}^{\infty} (x + 2)^{j})^{ʹ} = (\frac{1}{1 - (x + 2)})^{ʹ} = \frac{1}{(1 - (x + 2))^{2}}

, aber
andererseits ist

(\sum_{j = 0}^{\infty} (x + 2)^{j})^{ʹ} = \sum_{j = 0}^{\infty} j (x + 2)^{j - 1}

,

somit gilt

\sum_{j = 0}^{\infty} j (x + 2)^{j} = (x + 2) \cdot \sum_{j = 0}^{\infty} j (x + 2)^{j - 1} = \frac{x + 2}{(1 - (x + 2))^{2}}

.

Und von hier ist es schon nicht mehr weit zur Lösung. :-)

mathlanny aktiv_icon

12:56 Uhr, 14.07.2014

Danke vielmals!!!! Ich hab's nun gecheckt.

Meine Ableitungen waren immer komisch aufgestellt und dann haben sich Fehler eingeschlichen. Das Endergebnis setzt sich ja wirklich nur streight-forward zusammen. Mensch, das muss man erstmal richtig gesehen haben um es zu glauben.

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