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Summe über Produkt ableiten

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Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

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12:13 Uhr, 24.12.2025

Hallo zusammen,

ich habe eine Funktion der Form (bereits vereinfacht):

f (x) = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{j} w_{i} \cdot (1 + (x - 1) \cdot \prod_{l = 2}^{i} (w_{l} * x))} .

mit

w_{i} \geq 1 \forall i

and

x \geq 1

und möchte diese auf monotonie prüfen. Daher die Frage wie ich so geartete Funktionen ableiten kann?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

16:48 Uhr, 24.12.2025

Hallo

a .)

dieses Produkt lässt sich ja noch (für mein Auge) vereinfachen:

Π_{l = 2}^{i} (w_{l} \cdot x) = \frac{x^{i}}{x} \cdot Π_{l = 2}^{i} w_{l}

b .)

Deine Summe beginnt bei

(i = 1)

.
Hierfür ist obiges Produkt für mein Auge nicht definiert...

c .)

Alle Faktoren / Terme sind positiv. Bis auf dieses

(x - 1)

sogar alle größer als Eins.
Eine Division durch Null ist damit eigentlich leicht auszuschließen.
Wo erwartest du Auffälligkeiten?
Muss eine Ableitung zum Nachweis der Monotonie wirklich sein?

d .)

Wenn du mal einfache Beispiele

j = 2

j = 3

. .

.
zu Papier und vor Augen führst, dann sollte leichter ersichtlich sein, dass (nach Klärung von

b .))

im Nenner einfach eine Polynomfunktion steht,
mit sämtlichen Koeffizienten größer als Null (oder gar

1)

.
Ich hab's noch nicht zu Ende studiert, aber hätte Hoffnung, dass auch ohne Ableiten eine fallende Monotonie nachweisbar sein sollte.

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17:17 Uhr, 24.12.2025

Hallo calc007,

danke für deinen Input.

Zu a)

Ich hatte die Formel schon vereinfacht weil ich nur die Vorgehensweise lernen wollte. Aber das war wohl unklug

f (x) = \frac{M \cdot k}{m \cdot \sum_{i = 1}^{j} w_{i} \cdot (1 + (x - 1) \cdot \prod_{l = 2}^{i} (1 + \frac{w_{l - 1} \cdot x}{k}))}

ist die eigentlich Formel.

Zu b) Soweit ich weiß ist das Produkt in diesem Fall als leeres Produkt definiert. also = 1

zu c) Man erwartet von mir nachzuweisen, dass es exakt immer ein

x \geq 1

gibt, das die Funktion

f (x) = x

erfüllt.

Ich dachte ich könnte hier argumentieren, dass der Nenner derart gestaltet ist, das eine Erhöhung des eingesetzten Wertes für

x

(solange größer 1), immer zu einem niedrigeren Funktionswert führt und somit die Existenz von zwei Werten die die Funktion

f (x) = x

erfüllen ausgeschlossen ist.

Da ich nicht weiß wie man das mathematisch sauber macht, dachte ich Monotonie wäre die Lösung.

Da du alternative Beweismethoden ansprichst, stellt sich mir die Frage, wie kann ich das alternativ zeigen? Oder falls der Weg oben so korrekt ist, wie macht man das mathematisch sauber?

calc007

20:00 Uhr, 24.12.2025

17 : 17 h

hast du jetzt aber doch eine deutlich veränderte Funktion angesprochen.
hierzu:
So völlig ohne weitere Angaben ist ja sicherlich auch leicht ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Jetzt sprichst du eine Aufgabe neu an, es gäbe immer exakt eine Lösung für

f (x) = x

(x > 1)

kann man hierfür auch das Gegenbeispiel

f (x) = 1

anführen, das ja leicht für kleine

(\frac{M}{m})

zu widerlegen ist, ganz geschweige denn, wenn

(\frac{M}{m})

gar negativ werden könnte.

Deine Ausführungen zur Monotonie will ich gerne alle unterstützen. Auch mein Gedankengang geht in sehr ähnliche Richtung, auch wenn ich dazu nicht unbedingt Ableitungen für erforderlich halte.

Leider bist du auf

d)

überhaupt nicht eingegangen.
Wenn ich dein

b)

recht übernehme, dann gilt doch für das Beispiel

j = 1

f (x) = \frac{M \cdot k}{m \cdot w_{1} \cdot x}

...und das soll gleich sein

f (x) = \frac{M \cdot k}{m \cdot w_{1} \cdot x} = x

sicherlich eine einfache Übung...

Frohe Weihnacht!

Schwalz aktiv_icon

01:11 Uhr, 25.12.2025

Sorry,

ich hätte die Aufgabe von vorneherein stärker spezifizieren sollen.

Es gilt die im letzten Post genannte Funktion f(x).

Es gilt weiterhin

M > m > 0

und

k \in (N)

(also in den natürlichen Zahlen größer 0).

In dem von dir geschilderten Fall ist

x = (\frac{k \cdot M}{w_{1} * m})^{1 / 2}

Leider finde ich keine Logik für j = 2

Vielleicht ist die Notation in der Funktion nicht eindeutig. Das Produkt ist abhàngig vom jeweiligen Laufindex der Summe. Für j = 2:

f (x) = \frac{M * k}{m * (w_{1} * x + w_{2} + w_{2} * x * (1 + w_{1} * \frac{x}{k}) - w_{2} * (1 + w_{1} * \frac{x}{k}))} = x

Das zu lösen scheint hier schon kompliziert und ich will über

j = 3

und höher noch nicht mal mehr nachdenken.

Wenn Ableiten nicht der Weg ist.... Könntest du mir sagen, wie du Monotonie beweist, ohne Ableitungen zu bilden?

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