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Summe über alle ungeraden Zahlen auflösen

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Tags: Gauß Summenformel

 
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Peter25

Peter25 aktiv_icon

15:55 Uhr, 15.10.2021

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Hallo,
ich möchte die Summenformel auflösen. Kann mir jmd helfen?

i=1;i+=2ni

Also die Summe aller ungeraden Zahlen.
Ich brauch eine Formel ohne das Summenzeichen. Wie löse ich das hier auf? Kann ich Gauß anwenden?

Danke

Antwort
supporter

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15:58 Uhr, 15.10.2021

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de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Summe_%C3%BCber_ungerade_Zahlen
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Roman-22

Roman-22

16:13 Uhr, 15.10.2021

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> Kann ich Gauß anwenden?
ja, indem du zB i=2k-1 schreibst und die Summengrenze entsprechend anpasst.
Du solltest auf (n+1)24 kommen. Natürlich sind bei deinem Absatz nur ungerade Werte für n erlaubt.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:17 Uhr, 15.10.2021

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Kreative Bezeichnung i=1;i+=2n, irgendwie der Informatik entlehnt - aber doch in der Mathematik in dieser Symbolik weitgehend unüblich:

Entweder man arbeitet mit i=ab mit ganzen Zahlen a,b - und dann werden wirklich ALLE ganzen Zahlen mit aib erfasst - oder aber schreibt iI und definiert die Indexmengen anderweitig.

Man kann alternativ auch den Summationsindex anpassen: Wählt man i=2j-1, so ist dann für ungerade n

i=1;i+=2ni=j=1n+12(2j-1) .


Frage beantwortet
Peter25

Peter25 aktiv_icon

16:21 Uhr, 15.10.2021

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Super, vielen Dank Euch!!!
Peter25

Peter25 aktiv_icon

16:57 Uhr, 15.10.2021

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Hab doch noch eine Frage.

Ich kriege jetzt folgendes raus

i=1n(2i-1)

=2*i=1ni-n

=2*(n2+n)/2-n

=n2

Das Ergebnis ist aber falsch. Wo liegt der Fehler?

Antwort
Roman-22

Roman-22

17:17 Uhr, 15.10.2021

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> Das Ergebnis ist aber falsch. Wo liegt der Fehler?
Falsch ist es nicht - es ja gerade die Formel aus supporters Link. Nur berechnest du jetzt eine andere Summe, nämlich die aller ungerader Zahlen von 1 bis 2n-1. Du wolltest ursprünglich aber die Summe der ungeraden zahlen von 1 bis n.

Deines neues i, vor allem aber dein neues n haben eine völlig andere Bedeutung als die gleichnamigen Bezeichner in deinem Initialposting.
Ich hab ja geschrieben, dass du die Grenze für die neue Summe anpassen musst und HAL9000 hat dir dann noch die richtige Obergrenze für die neue Summe genannt! n+12
Und damit komnmst du dann eben auf die von mir eingangs genannten (n+1)24

Peter25

Peter25 aktiv_icon

19:22 Uhr, 15.10.2021

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Irgendwie verstehe ich das noch nicht.
Wenn ich die Obergrenze setze, sieht das so aus
i=1(n+1)/2i.
Damit krieg ich aber nicht das Ergebnis. Auch nicht, wenn ich statt dem i 2i-1 setze.

Wie sieht denn dann die Formel aus?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

19:56 Uhr, 15.10.2021

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Scheint dir wirklich schwer zu fallen, konzentriert zu bleiben und logisch stringent vorzugehen ... Also nochmal in aller Ruhe:


1.Schritt: Indexsubstitution i=2j-1 ergibt i=1;i+=2ni=j=1n+12(2j-1) für ungerade n1 .

2.Schritt: Anderweitig hast du die Summenformel j=1m(2j-1)=m2 bewiesen.

3.Schritt: Du setzt m=n+12 in die Formel aus 2. ein und bekommst dann insgesamt via 1.

i=1;i+=2ni=(n+12)2=(n+1)24.

Frage beantwortet
Peter25

Peter25 aktiv_icon

20:28 Uhr, 15.10.2021

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Jetzt, hab ich's. Dankeschön!!!