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Summe und direkte Summe Untervektorräume

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

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14:11 Uhr, 05.01.2021

Hey kann mir jemand den Unterschied zwischen Summe und direkte Summe erklären? Ich werd im Internet nicht wirklich schlauer.

In meinem Buch steht das die dim(der Summe der Untervektorräume W1,...,Wk)<= dim(W1)+...+dim(Wk). Mir ist nicht klar wieso, dass dann kleiner ist? Wieso ist das dann nicht gleich? Falls die Frage eigentlich logisch ist tuts mir leid.

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14:15 Uhr, 05.01.2021

Nicht jede Summe ist eine direkte Summe.
Wenn du z.B. im zweidimensionalen Raum

ℝ^{2}

die Räume

U = 〈 (1, 0) 〉

W = 〈 (1, 0) 〉

und

V = 〈 (1, 1) 〉

nimmst, dann gilt

ℝ^{2} = U + V + W

, aber das ist keine direkte Summe, denn z.B.

(1, 1)

kann als

0 \cdot (1, 0) + 0 \cdot (0, 1) + 1 \cdot (1, 1)

aber auch als

1 \cdot (1, 0) + 1 \cdot (0, 1) + 0 \cdot (1, 1)

dargestellt werden.

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14:17 Uhr, 05.01.2021

Heißt das eine direkte Summe ist es nur wenn man

z . B

v

Element aus

V

nicht durch die Elemente der Untervektorräume darstellen kann?

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14:20 Uhr, 05.01.2021

Per Definition ist die Summe direkt, wenn jede Summendarstellung eindeutig ist.
Das heißt für

V_{1} \oplus . . . \oplus V_{k}

aus

v_{1} + . . . + v_{k} = {\tilde{v}}_{1} + . . . + {\tilde{v}}_{k}

(mit

v_{i}, {\tilde{v}}_{i} \in V_{i}

) folgt, dass

v_{i} = {\tilde{v}}_{i}

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14:25 Uhr, 05.01.2021

Bedeutet das dann, dass die Summe in

V

enthalten ist, wenn jz

V

der Vektorraum ist und um die direkte Summe handelt es sich, wenn die UVR

V

ergeben, aber sich sozusagen nicht schneiden?

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14:48 Uhr, 05.01.2021

Sehr grob "sozusagen", denn UVR schneiden sich immer, weil 0 in allen liegt.
Aber direkte Summe bedeutet, dass sie gewissermaßen "minimal" ist. Insbesondere haben für die direkte Summe die Formel

\dim (V_{1}) + . . . + \dim (V_{k}) = \dim (V)

, wenn

V = V_{1} \oplus . . . \oplus V_{k}

. Für eine "allgemeine" Summe gilt nur

\dim (V_{1}) + . . . + \dim (V_{k}) \geq \dim (V)

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14:54 Uhr, 05.01.2021

Ok ich glaub jz wirds schon langsam klarer. Das heißt bei der Summe kann die Schnittmenge beliebig groß sein, aber bei der direkten Summe ist die Schnittmenge immer der Nullvektor, also minimal. Deshalb folgt dann auch bei Summe die Ungleichung, die ich bei der Fragestellung habe oder?

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14:59 Uhr, 05.01.2021

"Ok ich glaub jz wirds schon langsam klarer. Das heißt bei der Summe kann die Schnittmenge beliebig groß sein, aber bei der direkten Summe ist die Schnittmenge immer der Nullvektor, also minimal."

Nein, so einfach ist es nicht. Denn du hast auch mein Beispiel gesehen, mit drei UVR in

ℝ^{2}

. Diese 3 UVR schneiden sich nur im Null. Die Summe ist trotzdem nicht direkt.
Es gibt leider keine wesentlich einfache Umformulierung der Definition der direkten Summe. Die Eindeutigkeit der Darstellung lässt sich nicht auf Schnittmengen oder Ähnliches zurückführen.

chilldown18 aktiv_icon

15:05 Uhr, 05.01.2021

Ok ja versteh ich. Aber ich glaub trotzdem das es mir jetzt bissi klarer geworden ist. In meinem Buch ist noch ein Beispiel, welches ich jz besser verstehe:

Sei

V = K^{n}

mit der kanonischen Basis (e1,...,en) und W1:=SpanK(e1,...,ek) und W2:=SpanK(ek+1,...,en). Dann ist

K^{n} = W 1 + W 2

und es gilt

dim K^{n} = dim W 1 + dim W 2

.

Kann man daran jz sagen, dass sie verschiedeen sein müssen? Aber dann würde das mit dem Nullvektor der Definition widersprechen. Aber kann man sich einfach denken, dass hier die UV

V

bilden und die Schnittmenge von beiden der Nullvektor ist?

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15:17 Uhr, 05.01.2021

"Kann man daran jz sagen, dass sie verschiedeen sein müssen?"

Wer sie?

"Aber kann man sich einfach denken, dass hier die UV V bilden und die Schnittmenge von beiden der Nullvektor ist?"

Nein, das habe ich schon erklärt. Die Schnittmenge aus einem Nullvektor bedeutet noch keine direkte Summe.

chilldown18 aktiv_icon

15:20 Uhr, 05.01.2021

Mit sie meine ich jz in diesem Fall

W 1

und

W 2,

weil die sind hier ja verschieden oder nicht?

Ja, aber ich meine, wenn die Summe von

W 1

und

W 2 = V

und die Schnittmenge Nullvektor ist? Oder ist das dann auch nicht der Fall?

Tut mir leid für die vielen Fragen:-/

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15:30 Uhr, 05.01.2021

Wenn man eine direkte Summe hat, dann ist die Schnittmenge natürlich nur der Nullvektor.
Für eine direkte Summe aus nur zwei Summanden gilt auch umgekehrt: Schnittmenge nur der Nullvektor => Summe direkt.
Wenn man aber mehr als 2 Summanden hat, stimmt die letzte Aussage nicht. Also aus "Schnittmenge nur der Nullvektor" folgt nicht, dass die Summe direkt ist.

chilldown18 aktiv_icon

15:38 Uhr, 05.01.2021

Achso also gilts für zwei wie ich gesagt habe, aber jetzt nicht allgemein für mehrere.

Bisschen besser komm ich damit jetzt zurecht danke dir.

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