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Summe von Verteilungen/ Gemeinsame Verteilung

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

icefox01 aktiv_icon

10:48 Uhr, 21.05.2020

Hallo Leute, ich habe zwei Punkte bei folgender Aufgabe nicht richtig verstanden. Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.

Im Folgenden betrachten wir das Zufallsexperiment, welches aus dem zweimaligen Werfen eines
Würfels besteht. Es sei

X

jene Zufallsvariable, welche den Augenzahl des ersten Wurfes und

Y

jene Zufallsvariable, welche die Augenzahl des zweiten Wurfes beschreibt.

(a)

Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum, sowie Verteilung der Zufallsvariablen

X

und

Y

an.

(b)

Begründen Sie, dass

X

und

Y

unabhängig sind.

(c)

Geben Sie die Verteilung von

X + Y

an.

(d)

Geben Sie die gemeinsame Verteilung von

(X, Y)

an.

Mein Lösung bisher:
(a)

X

ist eine ZV auf

(Ω_{1}, F_{1}, P_{1})

mit

Ω_{1} = {1, ...,6}, F_{1} =

Potenzmenge von

Ω_{1},

P_{1} = U_{Ω_{1}}

(...Gleichverteilung)

Y

ist eine ZV auf

(Ω_{2}, F_{2}, P_{2})

mit

Ω_{2} = {1, ...,6}, F_{2} =

Potenzmenge von

Ω_{2},

P_{2} = U_{Ω_{2}}

(...Gleichverteilung)

Z := X + Y,

dann ist

Z

das Zufallsexperiment auf

(Ω, F, P)

mit

Ω = Ω_{1} \times Ω_{2}, F = F_{1} \otimes F_{2}, P = P_{1} \otimes P_{2}

(b)

Da die Ausgänge von

X

jene von

Y

nicht beeinflussen und umgekehrt ist

X

und

Y

unabhängig.

Ab hier wirds schwieriger für mich: Was ist denn genau der Unterschied zwischen der Verteilung von

X + Y

und der gemeinsamen Verteilung bzw. wie kann man sich das anhand des Beispiels mit konkreten Werten vorstellen?

(c)

Als Verteilung von

X + Y

hätte ich

P_{X + Y} = U_{Ω}

(also auch die Gleichverteilung)

(d)

Hier hätte ich zuerst auch die Gleichverteilung gehabt aber dasselbe kann es doch nicht sein?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:16 Uhr, 22.05.2020

X + Y

hat mögliche Werte 2 bis 12, also 11 insgesamt.

(X, Y)

hat mögliche Werte (1,1) bis (6,6), also 36 insgesamt.
Schon deshalb sind sie unterschiedlich.

X + Y

ist nicht gleichverteilt, denn z.B. die W-keit für

2

ist

1 / 36

und die W-keit für

3

ist schon zweimal höher.

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