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Summe zweier Funktionen Stetigkeit beweisen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

Buccaneer aktiv_icon

23:41 Uhr, 13.02.2015

Hallo,

ich sitze nun schon eine Weile an einem Beweis und habe mir schon ein bisschen was überlegt und aus dem Skript zusammen gesucht nur bin ich mir nicht sicher, ob ich das so machen darf und kann.

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass die Summe zweier Funktionen

f

und

g,

die an einer Stelle

z

stetig sind, ebenfalls an der Stelle

z

stetig ist.

Meine Überlegungen :

Stetig heißt:

lim f (x) = f (x 0)

x \to x 0

in meinem Fall:

lim_{x \to x 0} (f + g) (x) = lim_{x \to x 0} f (x) + lim_{x \to x 0} g (x)

= f \cdot lim_{x \to x 0} (x) + g \cdot lim_{x \to x 0} (x)

= f (x 0) + g (x 0)

Jetzt ist mir nicht ganz klar weshalb ich einfach das

f

und das

g

vor den Limes ziehen kann . Darf man das einfach und wieso ?
So in der Art wurde nämlich etwas ähnliches in unserem Skript bewiesen.

Vielen Dank schonmal für die Antworten.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

08:56 Uhr, 14.02.2015

Du musst das mit

ε

und

δ

zeigen, also per Definition.

DrBoogie aktiv_icon

08:57 Uhr, 14.02.2015

Und was Du schreibst, ist einfach schrecklich.
Was soll denn

lim f (x) = f \cdot lim (x)

bedeuten? :-O
Die Schreibweise ist komplett sinnfrei.

Buccaneer aktiv_icon

09:41 Uhr, 14.02.2015

So stand es halt für eine ähnliche Aufgabe (der selbe Beweis für eine Komposition von Funktionen ) im Skript. Ich fragte ja auch eben ob das so geht weil ich mich gewundert hatte darüber.

michaL aktiv_icon

09:56 Uhr, 14.02.2015

Hallo,

vermutlich heißt bei euch eine Funktion

f

stetig in

x_{0}

, wenn

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (lim_{x \to x_{0}} x)

.

Mfg Michael

rundblick aktiv_icon

10:10 Uhr, 14.02.2015

.

...meinst du das ernst, Michael ?

..habe selten so einen Unsinn gesehen..
und schliesse mich dem klaren Verdikt
von DrBoogie an

: \to

" ist einfach schrecklich."

.

michaL aktiv_icon

10:30 Uhr, 14.02.2015

Hallo,

> ...meinst du das ernst, Michael ?

Ich habe so etwas schon mal gesehen.
Warum auch nicht? Macht ja Sinn. Genau die stetige Funktionen vertauschen mit Grenzwertbildung.

Weswegen Buccaneers Schreibweise

>

lim_{x \to x_{0}} f (x) + \dots

>
>

= f \cdot lim_{x \to x_{0}} (x) + \dots

schrecklich ist, habe ich gerade gerückt. Besonders die Multiplikation zwischen

f

und dem Limes unten lässt auf Unverständnis der Materie schließen.

Meine Schreibweise

>

lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (lim_{x \to x_{0}} x)

ist doch formal und auch inhaltlich vollkommen korrekt. Über "Schönheit" lässt sich natürlich streiten...

Mfg Michael

Respon

11:24 Uhr, 14.02.2015

Etwa so:

f, g

stetig in

z

Sei

ε > 0

definiere

ε_{1} := \frac{ε}{2}

und

ε_{2} := \frac{ε}{2}

wähle

δ_{1} :

für alle

x \in D

mit

| x - z | < δ_{1}

gilt

| f (x) - f (z) | < ε_{1}

wähle

δ_{2} :

für alle

x \in D

mit

| x - z | < δ_{2}

gilt

| g (x) - g (z) | < ε_{2}

f, g

stetig in

z,

ist das stets möglich.

definiere

δ := min (δ_{1}; δ_{2})

für alle

| x - z | < δ

gilt

| (f + g) (x) - (f + g) (z) | = | f (x) + g (x) - f (z) - g (z) | =

= | [f (x) - f (z)] + [g (x) - g (z)] | \leq | f (x) - f (z) | + | g (x) - g (z) | < ε_{1} + ε_{2} = ε

Buccaneer aktiv_icon

12:18 Uhr, 14.02.2015

Danke MichaL . Das hat mir sehr geholfen. Das ist die Regel das ein stetiges

f

und der Limes vertauschbar sind oder ?

rundblick aktiv_icon

16:51 Uhr, 14.02.2015

"

Ich habe so etwas schon mal gesehen.
Warum auch nicht? Macht ja Sinn.
"

\to

nein , Michael

\to

in Worten des Herrn DrB

: \to

auch das ist " komplett sinnfrei".

also

\to

damit eine Funktion

y = f (x)

an einer Stelle

x = x_{o}

stetig ist, muss sie drei
Bedingungen erfüllen :

1) \to f

muss an der Stelle

x_{o}

definiert sein,
dh es muss der Funktionswert

f (x_{o})

existieren
.. und das wird durch direktes Einsetzen des konkreten Wertes

x_{o}

überprüft. fertig

\to

also nichts mit

f (lim_{x \to x_{o}} x)

oder ähnlichem Quatsch.

2) \to

es muss ein Grenzwert

g = lim_{x \to x_{o}} f (x)

existieren

3) \to

und es müssen

g

und

f (x_{o})

übereinstimmen ..

\to

Wenn nur eine dieser 3 Bedingungen nicht erfüllt ist, dann ist

f

unstetig bei

x = x_{o}

Und richtig :
diese drei Bedingungen werden oft einfach salopp in einer zusammengefassten Kurzform notiert :
so:

\to f

ist stetig an der Stelle

x = x_{o}

wenn

\to lim_{x \to x_{o}} f (x) = f (x_{o})

alles klar?
.

Shipwater aktiv_icon

17:07 Uhr, 14.02.2015

Jetzt lehnst du dich aber zu weit aus dem Fenster rundblick. Das was michaL geschrieben hat ist schon korrekt (zumindest falls

x_{0}

ein Häufungspunkt der Definitionsmenge ist) und letztlich einfach nur die Folgencharakterisierung der Stetigkeit.
Du machst bei deiner Beschreibung aber genau den selben Fehler. Dein "2)" ist auch falsch, denn der Grenzwert muss eben nicht notwendigerweise existieren. Allerdings hat man bei isolierten Punkten eh immer Stetigkeit. Erst bei Häufungspunkten der Definitionsmenge kann man dann "Stetigkeit

\Leftrightarrow

Grenzwert existiert und stimmt mit Funktionswert überein" formulieren.
Man sollte vielleicht einfach mit der allgemeinen Folgencharakterisierung arbeiten:

f : D \to ℝ

ist stetig bei

x_{0} \in D

wenn für jede Folge

{(x_{n})}_{n \in ℕ} \subseteq D

mit

x_{n} \to x_{0}

gilt dass

f (x_{n}) \to f (x_{0})

Damit ist auch die Aussage um die es hier im Thread eigentlich geht ruckzuck bewiesen. Einfach weil man über Folgen schon verdammt viel weiß.

rundblick aktiv_icon

18:11 Uhr, 14.02.2015

" den selben Fehler. Dein "2)" ist auch falsch,
denn der Grenzwert muss eben nicht notwendigerweise existieren."

\to

siehe: natürlich kann der GW nicht existieren .. dann bist du - wie oben zu lesen ist -
fertig .. dann ist

f

an der Stelle ja nicht stetig - oder?

und du wirst doch nicht sagen wollen, dass du zuerst

lim_{x \to x_{o}} x

ermittelst -
um einen Funktionswert

f (x_{o})

an der gegebenen Stelle

x_{o}

zu erhalten ?! -
und ein solcher muss ja zuerst schon mal existieren, sonst wird nichts mit stetig -

und natürlich brauchst du für Grenzwert

g

dann konvergierende Folgen

x \to x_{o}

(aber wohl nicht für den zu berechnenden Funktionswert bei

x_{0})

und sehr wohl kann dann dieser evtl existierende Grenzwert

g

ein von

f (x_{o})

abweichenden
Wert haben ( zB wenn

(x_{0}; f (x_{o}))

ein "Einsiedlerpunkt" von

f

ist ..

also siehe:
wenn nur eine der drei oben genannten Bedingungen nicht erfüllt ist, dann ..usw ..usw.. -

und ohne mich herauslehnen zu wollen : die Sachlage scheint mir oben korrekt notiert.
aber egal - du bist hier der König..

Shipwater aktiv_icon

12:04 Uhr, 15.02.2015

"siehe: natürlich kann der GW nicht existieren .. dann bist du - wie oben zu lesen ist - fertig .. dann ist

f

an der Stelle ja nicht stetig - oder?"

Das Problem ist, dass Grenzwerte nur für Häufungspunkte der Definitionsmenge erklärt sind. Bei isolierten Punkten kann man somit nicht von einem Grenzwert sprechen und dennoch sind Funktionen an isolierten Punkten immer stetig. Jede Abbildung

f : ℕ \to ℝ

ist zum Beispiel stetig, obwohl an keinem Punkt des Definitionsbereichs ein Grenzwert existiert. Bei Wiki gibt es ein hierzu passendes Kriterium der Stetigkeit:
http//de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Stetigkeit_reeller_Funktionen
Das dort unter "Limeskriterium" aufgeführte meine ich.
Und

x_{0}

als

lim_{x \to x_{0}} x

zu schreiben, soll nur verdeutlichen, dass man bei Stetigkeit den Limes in die Funktion ziehen kann, klar kann man auch direkt

x_{0}

schreiben.

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