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Summe zweier verschiedener maximaler Ideale

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ideal, Maximal, Ring

Timorhd aktiv_icon

11:04 Uhr, 27.09.2020

Die Aufgabe ist die folgende:

Seien

m_{1} \neq m_{2}

verschiedene maximale Ideale im Integritätsbereich R.

Zeigen Sie, dass

m_{1} + m_{2} = R

gilt.

Leider habe ich mit dem maximalen Ideal so meine Probleme. Mir ist die folgende Definition bekannt: Ein Ideal

m

ist maximal, falls es in keinem echten Ideal enthalten ist. Existiert also ein Ideal

a \subseteq R,

mit

m \subseteq a,

dann folgt

m = a

oder

a = R

.

Nun würde ich bei dieser Aufgabe nutzen, dass

m_{1} \subset m_{1} + m_{2}

gilt und da

m_{1}

maximal ist, sollte dann ja

m_{1} = m_{1} + m_{2}

gelten oder

m_{1} + m_{2} = R

. Das erste kann ja aber nicht gelten, da

m_{2} \neq (0)

(da maximal). Wie ist das aber wenn

m_{2} \subset m_{1}

gilt? Würde dann auch ein Widerspruch folgen, da

m_{2}

maximal ist?

Wie gesagt, ich bin bei maximalen Idealen noch nicht so sicher, daher würde ich mich freuen, wenn jemand mal über meine Lösung rüberschauen kann :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:23 Uhr, 27.09.2020

Das ist schon alles richtig.

m_{1} + m_{2}

ist ein Ideal, das

m_{1}

enthält.
Da

m_{1}

maximal ist, kann nur gelten

m_{1} + m_{2} = m_{1}

oder

m_{1} + m_{2} = R

. Im 2. Fall sind wir fertig.
Im 1. Fall nutzen wir, dass

m_{1} + m_{2}

auch

m_{2}

enthält, daher muss

m_{1} + m_{2} = m_{2}

oder

m_{1} + m_{2} = R

gelten.

m_{1} + m_{2} = R

ist aber im 1. Fall ausgeschlossen, daher muss es

m_{1} + m_{2} = m_{2}

gelten. Woraus aber

m_{1} = m_{2}

folgt, was nicht möglich ist. Damit kann der 1. Fall nicht eintreten.

michaL aktiv_icon

11:47 Uhr, 27.09.2020

Hallo,

ich finde, DrBoogie hat eigentlich schon alles erklärt.
Nur auf deine Frage ist er nicht direkt eingegangen:
> Wie ist das aber wenn

m_{2} \subset m_{1}

gilt?

Dann würde aus der Maximalität von

m_{2}

und der Tatsache, dass

m_{1} \neq R

(wieder aus Maximalitätsgründen) gilt, folgen, dass

m_{2} = m_{1}

gilt.
Das aber steht im Widerspruch zu

m_{1}, m_{2}

verschiedene (maximale) Ideale.

Mfg Michael

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