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Summen berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: ohne taschenrechner, summe berechnen

Darislav aktiv_icon

13:34 Uhr, 23.11.2022

Wie soll ich folgende Summen ohne Taschenrechner ausrechnen ?
Ich freue mich über eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

13:44 Uhr, 23.11.2022

Forme den Summanden etwas um und verwende

\sum_{i = 1}^{n} q^{i} = q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

geometrische Reihe
also

\sum_{i = 1}^{100} 3^{4 - i} \cdot 2^{i} = 3^{4} \cdot \sum_{i = 1}^{100} {(\frac{2}{3})}^{i} = . .

\sum_{k = 1}^{9999} \frac{1}{k \cdot (k + 1)} = \sum_{k = 1}^{9999} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \sum_{k = 1}^{9999} \frac{1}{k} - \sum_{k = 1}^{9999} \frac{1}{k + 1} = . .

michaL aktiv_icon

14:02 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

gut, dass du einen Scan der Originalaufgabenstellung eingereicht hast. Das vermeidet Missverstände.
Aber: Du hast doch das Original auf dem Rechner gehabt?! Warum hast du den Bildschirm abfotografiert (und das auch noch wenig halsschonend), statt mit einem Grafikprogramm einen geeigneten Ausschnitt hochzuladen?

Nun, egal.

Es geht ja einerseits um

\sum_{l = 1}^{100} 3^{4 - l} 2^{l}

.
Ist dir bewusst, dass die folgende Gleichungskette gilt?

\sum_{l = 1}^{100} 3^{4 - l} 2^{l} = \sum_{l = 1}^{100} 3^{4} \cdot 3^{- l} 2^{l} = 3^{4} \cdot \sum_{l = 1}^{100} {(\frac{2}{3})}^{l} \overset{k = l - 1}{=} 3^{4} \cdot \sum_{k = 0}^{99} {(\frac{2}{3})}^{k + 1} = \frac{3^{3}}{2} \sum_{k = 0}^{99} {(\frac{2}{3})}^{k}

Bei der letzten Summe kannst du die (endliche) geometrische Summenformel verwenden, die ihr vermutlich kürzlich hattet.
Der Bruch davon ist

\frac{27}{2}

. Damit müsstest du den Wert verrechnen.

Bei der zweiten Summe andererseits braucht es einen Trick. Hattet ihr schon die Partialbruchzerlegung?
Ohne ins Detail gehen zu wollen, gilt

\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

. (Einfach nachrechnen!)

Damit kann man deine Summe "ausschreiben" zu:

(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9998} - \frac{1}{9999}) + (\frac{1}{9999} - \frac{1}{10000})

Siehst du, dass sich fast alles mit einem anderen Term "verrechnen" kann?

Mfg Michael

PS: Uups, scheint doch viel Zeit zwischen Beginn der Antwort und dem Absenden vergangen zu sein...
Bitte miene Antwort ignorieren!

Darislav aktiv_icon

14:35 Uhr, 23.11.2022

Erst einmal danke ich dir vielmals für die Hilfe :-)

Wie kommst du bei der ersten Aufgabe von

3^{4}

auf

\frac{3^{3}}{2}

?
Und auf hoch

k + 1

kommst du, indem du

k = l - 1

also

l = k + 1

rechnest.

michaL aktiv_icon

14:42 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

ich komme durch einen Fehler darauf :(

Zuerst steht vor der Summe

3^{4}

und in der Summe

{(\frac{2}{3})}^{k + 1} = {(\frac{2}{3})}^{k} \cdot \frac{2}{3}

.

Den Faktor

\frac{2}{3}

wollte ich eigentlich vor die Summe gezogen habe. Da bin ich aber heftig gestolpert.
Richtig wäre:

3^{4} \cdot \frac{2}{3} = 2 \cdot 3^{3} = 54

VOR der Summe.

> Und auf hoch k+1 kommst du, indem du k=l−1 also l=k+1 rechnest.

Genau! Das nennt man eine Indexverschiebung.
(Alternativ hätte man einfach den fehlenden Summanden

{(\frac{2}{3})}^{l}

für

l = 0

einmal addieren und auch gleich wieder subtrahieren können. Mir gefiel aber dieser Weg besser.

Mfg Michael

Mfg Michael

Darislav aktiv_icon

14:55 Uhr, 23.11.2022

Hallo,

D . h

. ich habe dann

54

vor der Summe

\cdot

die Summe von

k = 0

bis

99

für

{(\frac{2}{3})}^{k}

.
Wie rechne ich die Summe aus

{(\frac{2}{3})}^{k}

aus ?

Geometrische Summenformel:

\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{99 + 1}}{1 - (\frac{2}{3})}

= \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{100}}{\frac{1}{3}}

Wie soll ich da weiter rechnen?

LG

HAL9000

15:40 Uhr, 23.11.2022

Naja, den Nenner hebt man per

\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3

nach oben, den Rest lässt man stehen.

Dabei ist anzumerken, dass

{(\frac{2}{3})}^{100} \approx 2, 46 \cdot 1 0^{- 18}

schon ziemlich klein ist, d.h., mit der Stellenauflösung vieler handelsüblicher TR kann man dann getrost sagen

\sum_{l = 1}^{100} 3^{4 - l} 2^{l} = 162 \cdot (1 - {(\frac{2}{3})}^{100}) \approx 162 \cdot 1 = 162

,

letzteres entspricht exakt dem zugehörigen Reihenwert (d.h. mit

\infty

statt

100

vorn als oberer Summationsindex).

Darislav aktiv_icon

16:23 Uhr, 23.11.2022

D . h

.

mein Ergebnis lautet:

54 \cdot 3 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{100}}{\frac{1}{3}}

= 162 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{100}}{\frac{1}{3}}

HAL9000

08:00 Uhr, 24.11.2022

> D.h. mein Ergebnis lautet:

Das heißt wohl eher: Du hast überhaupt nicht zugehört. :(

Darislav aktiv_icon

08:48 Uhr, 24.11.2022

Ich habe es dann bereits richtig gelöst und kam selbst drauf und konnte es dann mit deinem Ergebnis abgleichen. Aber im ersten Moment habe ich das nicht erkannt.

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