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Summen berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialkoeffizient, Summen berechnen

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22:20 Uhr, 23.11.2022

Ich bräuchte Hilfe. Danke im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

HAL9000

22:32 Uhr, 23.11.2022

Beides ist mit dem Binomischen Satz

{(a + b)}^{m} = \sum_{k = 0}^{m} (\begin{array}{c} m \\ k \end{array}) a^{k} b^{m - k}

berechenbar, durch geschickte Wahl von

a, b, m

.

Bei (ii) hilft dabei noch die Identität

\frac{1}{k + 1} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = \frac{1}{n + 1} (\begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array})

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22:44 Uhr, 23.11.2022

Wäre das richtig:

a = - 1

b = 1 - \to

weil neutrales Element,

b

darf nicht 0 sein

sprich:

{(- 1 + 1)}^{m} = Σ

von

k = 0

mit

n

als obere Grenze

\cdot (n

über

k) \cdot {(- 1)}^{k}

0 = Σ

von

k = 0

mit

n

als obere Grenze

\cdot (n

über

k) \cdot {(- 1)}^{k}

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22:57 Uhr, 23.11.2022

Bei der (ii) komme ich gar nicht weiter.

HAL9000

23:10 Uhr, 23.11.2022

Bei (i) ist

m = n

und der Wert ist tatsächlich 0, zumindest für

n \geq 1

.

Für

n = 0

kommt aber abweichend Wert 1 heraus.

------------------------------------------------

Bei (ii) hast du meinen Hinweis nicht richtig ernst genommen, daher noch ausführlicher:

\sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k + 1} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} (\begin{array}{c} n + 1 \\ k + 1 \end{array}) = \frac{1}{n + 1} \sum_{j = 1}^{n + 1} {(- 1)}^{j - 1} (\begin{array}{c} n + 1 \\ j \end{array})

= \frac{1}{n + 1} [1 - \sum_{j = 0}^{n + 1} {(- 1)}^{j} (\begin{array}{c} n + 1 \\ j \end{array})]

Im letzten Schritt wurde der Summand für

j = 0

(der ist gleich 1) hinzugefügt, was natürlich "repariert" werden muss.

Diesmal also

a = - 1, b = 1, m = n + 1

(jetzt weißt du auch, warum ich beim Binomischen Satz oben nicht fest Exponent

n

genommen habe, sondern lieber

m

1563877

1563870

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