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Summen mit Summenzeichen zusammenfassen

Schüler Gesamtschule, 8. Klassenstufe

Tags: Summen, Summenzeichen, Zusammenfassung

anonymous

16:52 Uhr, 20.10.2013

Hallo,

gegeben sind 3 langkettige Summen, die mit dem Summenzeichen zusammengefasst werden sollen. Die Aufgabe ist im Anhang und ich habe einige Vorschläge:

zu

b)

Summen-Zeichen

(M) c

index

c = 0

oben

1000

c)

a Summen-Zeichen

(M) i

index

i = 1

oben

10

und Summen-Zeichen (M)

o

index=2 oben

20

a)

Exponentielles Wachstum bzw. Steigerung im Nenner: 2 hoch

n

Zähler erhöht sich immer um 2 beginnend von 3 bis

15

p

Summen-Zeichen (M)index

n = 1 \frac{1^{n} + 2}{n^{2}}

MfG,

mey-martin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

gorgar aktiv_icon

18:01 Uhr, 20.10.2013

hi

hast du deine eigenen vorschläge kontrolliert?
guck mal bei (b) hast du z.b. ein summenglied mehr, als in der aufgabenstellung angegeben ist.

bei (a), wenn ich deine summenschreibweise richtig interpretiere, bekommst du einen nenner, der ein wenig verschoben ist.

bei (c) könntest du mal versuchen die summe in zwei summen geeignet aufzuteilen
und dann so in einer summe zusammenzufassen, dass nur ein index vorkommt.

anonymous

18:16 Uhr, 20.10.2013

Hi gorgar,

bei

c

hast Du Recht, da es ja zum Quadrat ist also Sum(q-2)+Sum(q-2)=Endsumme. Ich weiß man kann die Formeln nicht so hinschreiben. Bei (a)habe ich die

- 2

für

n

eingesetzt und bin mit dem Index immer höher gegangen, also

- 1

und dann 0. Somit schreibt man

- 1

hoch

(- - 2 + 1), - 1

hoch

(- - 1 + 1)

und

- 1

hoch

(0 + 1)

. Das ist doch so korrekt, oder? Und bei(b):
Welches Summenglied habe ich zu viel geschrieben?

MfG,

mey-martin

gorgar aktiv_icon

18:54 Uhr, 20.10.2013

bei aufgabe (b) gehen die indizes von 1 bis 1000, du fängst mit index 0 an -> ein summenglied zuviel, nämlich

c_{0}

bei (a) lässt du den index bei n = -2 beginnen?
du hast oben

1 \frac{1^{n} + 2}{n^{2}}

angegeben, ist das die bildungsvorschrift für zähler und nenner?
wie auch immer, die

1^{n}

bleibt aber konstant 1. d.h. den exponenten n brauchst du an der stelle gar nicht zu schreiben. unter dem bruchstrich würde der nenner mit n = -3 mit 9 beginnen, weil ja

- 3^{2} = 9

ist.
es wäre besser, wenn du das alles irgendwie leserlicher hinbekommst.
notfalls handschriftlich aufschreiben, einscannen und als bilddatei hochladen und verlinken. oder, wenn du kein latex kannst, so wie ich z.b, dann gibts tools, die einem dabei helfen. ich benutze dieses online-tool www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
den latex code kann man dann hier im experten-modus reinkopieren(das dollarzeichen nicht vergessen).

zur summenbildung bei aufgabe (a) könnte ich dir noch vorschlagen, die reihe geeignet umzuschreiben, z.b. so

\frac{p^{1}}{2^{0}} + \frac{p^{3}}{2^{1}} + \frac{p^{5}}{2^{2}} + \frac{p^{7}}{2^{3}} + . . . + \frac{p^{15}}{2^{7}}

dann fällt dir das bilden der indizes eventuell einfacher.

für die aufgabe (c) könnte es vllt hilfreich sein, die summe in zwei summen aufzuteilen:

a + a i + a i^{2} + a i^{3} + . . . + a i^{10} +

a \cdot 2^{σ} + a \cdot 4^{σ} + a \cdot 6^{σ} + . . . + a \cdot 2 0^{σ} = \sum + \sum

und dann versuchen je eine summe in summen-notation umzuschreiben und zu gucken, wie man die summen vereint, indem man nur eine laufvariable benutzt.

anonymous

20:40 Uhr, 20.10.2013

Also,

erst einmal Danke für die Tipps und auch das Web-Tool. Du hast Recht, dann ist alles viel übersichtlicher. Das

M

bedeutet das Summenzeichen, das nur nicht umgekippt ist. Oben ist klar, da ist wie Aufgabe

b

oben die

1000

unter dem Summenzeichen steht

c = 0,

da ich ja eine Variable benötige. Neben dem Summenzeichen steht die Variable

c

. Nun, beginnt man von 0 und addiert bis

1000,

allerdings soll es nicht

1 + 2 + 3 ... + 1000

heißen, sondern

c 1 + c 2 + c 3 ... + c 1000,

deshalb benötige ich das

c

.

Zur Aufgabe

(a)

gebe ich Dir Recht, dass es sinnvoller ist,

2^{1}, 2^{2}, 2^{3}

usw. zu schreiben als

2,4,8

etc. Mir verunsichert das

p

vor

\frac{p^{3}}{2}

. Also, 1. schreibe ich das Summenzeichen

M,

dann bestimme ich den Index. Der Index muss ein Bruch sein und über dem Summenzeichen steht die Zahl bis wann man summiert, in dem Fall

2^{7}

.

Zur Aufgabe

(c)

muss ich 2 Summen aufstellen. Die erste mit

i

und die zweite mit

o,

nur weiß ich nicht wie man beginnen muss... Summenzeichen Index:

i = 0

und oben bis

10

. Die zweite Summe mit

o :

Summenzeichen Index:

o = 1

und oben bis

20

. Dann werden wie Du bereits erwähnt hast die Summen addiert

M + M

gorgar aktiv_icon

21:11 Uhr, 20.10.2013

eben das meinte ich. du beginnst bei 0, aber es genügt, bei 1 zu beginnen.
unter das summenzeichen brauchst du die variable nicht zu schreiben, das habe ich jedenfalls noch nirgends so gesehen. so würde das dann aussehen:

\sum_{i = 1}^{1000} c_{i}

siehst du, da steht nirgends ein c unter dem summenzeichen. das c steht direkt in der summe.

"dass es sinnvoller ist,

2^{1}, 2^{2}, 2^{3}

"
ja, um zu erkennen, wie man den summationsindex bilden muss.

"Der Index muss ein Bruch sein"
nein, der index ist kein bruch. es ist aber ein index über und ein index unter dem bruchstrich erforderlich. wenn du es geschickt anstellst, kannst du ein und denselben buchstaben als summationsindex über und unter dem bruchstrich benutzen.

"über dem Summenzeichen steht die Zahl bis wann man summiert, in dem Fall

2^{7}

"
betrachte die 2 wie eine konstante wobei sich nur der index von i=0 bis i=7 ändert
(nur weil die höchste zahl im nenner 128 ist, muss i nicht zwagsläufig bis 128 laufen. so viele glieder hat die summe ja auch gar nicht).
dann guckst du noch nach, wie der index oberhalb des bruchstrichss, also im zähler verlaufen musst. dann müsste dir die lösung quasi ins auge springen.

bei (c) kannst du prinzipiell so vorgehen wie bei a.
schreibe dir die summe so auf, dass in allen summengliedern der summationsindex vorkommt. den einen teil der summe kann man z.b. so schreiben:

a i^{0} + a i^{1} + a i^{2} + a i^{3} + . . . + a i^{10}

dann siehst du gleich, welchen zahlenwert der summationsindex annehmen muss.

anonymous

14:14 Uhr, 21.10.2013

So,

(a)

haben wir schon. Ich habe jetzt die Lösung für

(c)

.

Vorschlag:

1 .)

Summenzeichen

E

(i

ist unter a)index=i=0 oben

10

plus

2 .)

Summenzeichen

E

a*2hoch

o

index=0 oben

20

MfG,

mey-martin

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14:18 Uhr, 21.10.2013

haben wir

(a)

tatsächlich?
wo ist denn die lösung? die habe ich hier noch nicht gesehen. ;-) :-)

anonymous

14:40 Uhr, 21.10.2013

Hopla meinte

(b) ...

. ;-) So zu

(a)

die Brüche verunsichern mich. Ich kann

p

als

\frac{p}{1}

hoch 1 schreiben, dann erhöht sich der Exponent im Zähler um jeweils 2 und im Nenner

2^{n}

. Erstens (Summenzeichen)E

\frac{p}{2^{n}}

index= 1. ABER: hinter

p,

also im Zähler muss noch

+ 2

stehen, also

p + 2

dividiert durch

2^{n}

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15:01 Uhr, 21.10.2013

"Erstens (Summenzeichen)

E \frac{p}{2^{n}}

index= 1."
warum soll der index bei 1 anfangen? damit würde uns das erste summenglied verloren gehen.

dein vorschlag, hinter p +2 zu schreiben, würde uns im zähler die folge p+2, p+2, p+2, ... ergeben. können wir so nicht gebrauchen.

guck dir mal von der gegebenen reihe

\frac{p^{1}}{2^{0}} + \frac{p^{3}}{2^{1}} + \frac{p^{5}}{2^{2}} + \frac{p^{7}}{2^{3}} + . . . + \frac{p^{15}}{2^{7}}

die indizes im zähler und im nenner an.
zähler: 1, 3, 5, 7, ... ,15
nenner: 0, 1, 2, 3, ....,7

lassen wir den summationsindex von i = 0 bis 7 laufen, hat sich der nenner erledigt.
bleibt die frage offen: was müssen wir mit dem summationsindex machen, damit wir die zahlenfolge 1, 3, 5, 7, ... ,15 bekommen?
oder anders ausgedrückt:
mit welcher abbildungsvorschrift mache ich aus der 0 im nenner eine 1 im zähler,
mit welcher abbildungsvorschrift mache ich aus der 1 im nenner eine 3 im zähler,
mit welcher abbildungsvorschrift mache ich aus der 2 im nenner eine 5 im zähler,
usw.
wobei die abbildungsvorschrift natürlich ein und dieselbe sein muss.
prinzip klar`?

anonymous

16:11 Uhr, 21.10.2013

Vielleicht, wenn ich den "Buchstaben" rechts neben dem Summenzeichen hoch Minus rechne?

gorgar aktiv_icon

16:33 Uhr, 21.10.2013

vielleicht? machen wir ein rate-quiz? :-)
das gute an diesen aufgaben ist, dass du deine lösung selbst kontrollieren kannst.
schreib dir doch auf, wie die summe aussieht, wenn dort irgendwo ein "hoch minus" steht und dann vergleiche es mit der aufgabe. wenn beides übereinstimmt, hast du die lösung gefunden. aber soviel kann ich dir schon mal verraten: ein "hoch minus" bringt dir nichts.

versuch doch mal die folgende summe 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 15 in summen-notation zu schreiben.
wenn dir das gelingt, hast du die lösung für (a) so gut wie fertig.

anonymous

16:49 Uhr, 21.10.2013

p^{2 n + 1}

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16:51 Uhr, 21.10.2013

da sieht schon mal stark hitverdächtig aus!
jetzt nur noch alles aufschreiben!

edit: das ist zwar nicht die lösung zu
"versuch doch mal die folgende summe 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 15 in summen-notation zu schreiben."
aber das sehen wir jetzt mal nicht so eng :-P)

anonymous

17:03 Uhr, 21.10.2013

Also,

M p^{2 n + 1}

n = 0

wäre die ausführliche Schreibweise. Jetzt muss ich nur noch

(c)

lösen. ;-)

EDIT: Ich habe die Laufzahl vergessen...

2^{7} := 128

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17:08 Uhr, 21.10.2013

von welcher aufgabe soll das die lösung sein?
das kann man beim besten willen, selbst wenn man beide augen zu macht und sich umdreht, so nicht gelten lassen. weder für augabe (a) noch für die extra-aufgabe.

gorgar aktiv_icon

17:18 Uhr, 21.10.2013

mit laufzahl meinst du vermutlich den summationsindex?
so gibt man den bestimmt nicht an:

2^{7} := 128

und bei deiner summendarstellung, wo ist der nenner?
das kann man so leider immer noch nicht gelten lassen :-/

anonymous

17:19 Uhr, 21.10.2013

1. zu

(a)

p^{2 n + 1}

war richtig. Das Summenzeichen ist auch klar. Der Index soll bei 0 starten. Dann kann nur noch die Laufzahl über dem Summenzeichen falsch sein...

zu

(c)

Sum ai hoch

n;

Index:

n = 0 +

Sum

2 \cdot n^{o}

(griech.

o);

Index:

n = 0

EDIT: Meinst Du evtl.

\frac{p^{2 n + 1}}{2^{n}}

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17:22 Uhr, 21.10.2013

nein, (a) war nicht richtig, siehe meinen post oben.

gorgar aktiv_icon

17:30 Uhr, 21.10.2013

das sieht schon viiiieeel besser aus! und der summationsindex? welche grenzen muss der haben?
tipp: schreibe dir die summenglieder so hin, wie du es eben gepostet hast.

anonymous

17:34 Uhr, 21.10.2013

Ich würde sagen:

Index:

n = 0

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17:35 Uhr, 21.10.2013

von n=0, ja, einverstanden.
von n = 0 bis n = ?
schreib es dir auf nen zettel, dann kommst du bestimmt darauf.

anonymous

17:38 Uhr, 21.10.2013

Ich hoffe 7.

gorgar aktiv_icon

17:50 Uhr, 21.10.2013

hoffen, hmm ... du scheinst selbst noch nicht von deiner lösung überzeugt zu sein.
schreib dir doch dein ergebnis ausführlich auf ein blatt papier auf,

\sum_{i = 0}^{7} \frac{p^{2 i + 1}}{2^{i}} = \frac{p^{2 \cdot 0 + 1}}{2^{0}} + \frac{p^{2 \cdot 1 + 1}}{2^{1}} + \frac{p^{2 \cdot 2 + 1}}{2^{2}} + \frac{p^{2 \cdot 3 + 1}}{2^{3}} + \frac{p^{2 \cdot 4 + 1}}{2^{4}} + \frac{p^{2 \cdot 5 + 1}}{2^{5}} + \frac{p^{2 \cdot 6 + 1}}{2^{6}} + \frac{p^{2 \cdot 7 + 1}}{2^{7}} = . . .

berechne die nenner und die exponenten im zähler und vergleiche mit der aufgabenstellung.

anonymous

17:56 Uhr, 21.10.2013

So, ich habe wie empfohlen aufgeschrieben und festgestellt, dass das Ergebnis stimmt. ;-)

gorgar aktiv_icon

18:01 Uhr, 21.10.2013

jippiee!
:-)

für (c) hattest du vorhin die erste summe vom ansatz her richtig angegeben, die zweite summe mit dem sigma stimmmt aber noch nicht.
da könnte ich dir noch nen tipp geben: versuch mal die summe 2 + 4 + 6 + ... + 20 in summen-notation aufzuschreiben.

anonymous

18:09 Uhr, 21.10.2013

Sum 2 mal

n

hoch

σ

index:

n = 1

und oben

10

gorgar aktiv_icon

18:22 Uhr, 21.10.2013

das ist zwar nicht die summe 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 20
aber naja - du willst bestimmt schon auf die lösung der aufgabe hinaus ;-)
das wäre dann nämlich soweit okay(aber nur wenn man sich das 2n in klammern denkt, also wieder beide augen zudrückt).
jetzt nur noch den summationsindex anpassen, sodass er bei beiden summen mit dem gleichen anfangswert startet. den index der ersten summe hast du bei 0 anfangen lassen, den index der zweiten summe lässt du bei 1 starten.
einer von beiden muss angeglichen werden, damit du die summen mit einem summensymbol darstellen kannst.

anonymous

18:29 Uhr, 21.10.2013

Die Summe mit dem

o

muss angeglichen werden, da bei der erste Summe alles falsch wäre, also 0.

gorgar aktiv_icon

18:41 Uhr, 21.10.2013

das liest sich schon mal alles recht erfolgversprechend.
jetzt noch die puzzlefragmente zusammenfügen, wir brauchen die vollständige, exakte notation.

bin mal eben für 2 stunden aus dem haus.
ich denke, das bekommst du aber auch ohne mich hin.

anonymous

19:43 Uhr, 21.10.2013

\sum_{n = 0}^{10} a i^{n} + \sum_{n = 0}^{10} n * 2^{o} = \sum_{n = 0}^{10} a i^{n} n * 2^{o}

gorgar aktiv_icon

20:34 Uhr, 21.10.2013

noooo!
aber immerhin, schön mit summenzeichen, etc. :-)

anonymous

22:07 Uhr, 21.10.2013

Na toll.. Ich hätte gern diese Aufgabe gelöst gehabt, da ich morgen das Blatt mit weiteren verschieden Aufgaben abgeben muss... Ich weiß, dass ich eine "banale mathematische Aufgabe" nicht so schnell lösen kann wie ein Mathe-E-Kurs-Profi. Es ist halt alles neu und ich habe niemanden in der Familie der mir das mit Links erklären kann... Trotzdem Danke für Deine Mühe und einen schönen Abend noch :-)

mey-martin

anonymous

22:13 Uhr, 21.10.2013

2 von 3 erfüllt.

gorgar aktiv_icon

22:24 Uhr, 21.10.2013

das kann ich ja nicht wissen, dass du es morgen abgeben musst!
das hättest du ruhig schon gestern schreiben können.
noch ist es ja nicht zu spät! :-)
hier ist der ausführliche rechenweg:

a + a \cdot i + a \cdot 2^{σ} + a \cdot i^{2} + a \cdot 4^{σ} + a \cdot i^{3} + a \cdot 6^{σ} + . . . + a \cdot i^{10} + a \cdot 2 0^{σ}

= a + a \cdot i + a \cdot i^{2} + a \cdot i^{3} + . . . + a \cdot i^{10} + a \cdot 2^{σ} + a \cdot 4^{σ} + a \cdot 6^{σ} + . . . + a \cdot 2 0^{σ}

= a (i + i^{2} + i^{3} + . . . + i^{10}) + a (2^{σ} + 4^{σ} + 6^{σ} + . . . + 2 0^{σ})

= a \sum_{k = 0}^{10} i^{k} + a \sum_{k = 0}^{10} (2 k)^{σ}

= a (\sum_{k = 0}^{10} i^{k} + \sum_{k = 0}^{10} (2 k)^{σ})

= a \sum_{k = 0}^{10} (i^{k} + (2 k)^{σ})

= \sum_{k = 0}^{10} a (i^{k} + (2 k)^{σ})

anonymous

14:24 Uhr, 25.10.2013

Hi gorgar,

habe am Dienstagmorgen kurz bevor ich zur Schule gegangen bin auf Online-Mathe die 3. Aufgabe gesehen.Danke nochmals für Deine Unterstützung!

MfG,

mey-martin :-)

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