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Summen über beliebigen Indexmengen
Universität / Fachhochschule
Wahrscheinlichkeitsmaß
Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß
 
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Hallo, habe eine allgemeine Verständnisfrage zur Vorbereitung einer mündlichen Prüfung: Wie sind Summen über beliebige Indexmengen definiert? Wieviele Summanden dort sind ungleich 0? Warum? Nun hatten wir einen dazu passenden Satz, welcher mir bei der Beantwortung aber nicht wirklich weiterhilft: (Summen in [0,∞] mit beliebig vielen Summanden). Für eine Familie x = : i ∈ I) in [0,∞], also x ∈ [0,∞]^I mit einer beliebigen Menge I, heißt {} ∈ [0,∞] ihre Summe. Für x ∈ [0,∞]^I gelten damit Rechenregeln wie für Summen mit endlichen Indexmengen. |
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"Wie sind Summen über beliebige Indexmengen definiert?" Das kommt darauf an, es gibt unterschiedliche Definitionen. "Wieviele Summanden dort sind ungleich 0? Warum?" Endlich viele oder abzählbar unendlich viele, abhängig von der Definition. Überabzählbar viele zu summieren wird schon schwierig. |
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Wir haben ja eine Definition gegeben bekommen (siehe meine erste Frage), nur tue ich mich mit dem Verständnis und vor allem mit der Aussprache dieser schwer, da wäre es toll, wenn mir jemand helfen könnte |
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Und wie können wir für dich verstehen? Verstehen ist leider ein individueller Prozess. Aber vielleicht hilft das: hier wird Summe einfach als Supremum über alle endlichen Summen definiert. Wenn man eine abzählbare Indexmenge hat, dann kommt daraus einfach die bekannte Definition der Summe einer unendlichen Reihe (aus nicht-negativen Summanden, das ist wichtig). Wenn die Indexmenge überabzählbar ist, wird dieses Supremum gleichzeitig auch Supremum aller Reihensummen für alle unendliche Reihen, die man aus der Indexmenge "auswählen" kann. Aber im Endeffekt ist es eine abstrakte und deshalb eher schwer greifbare Definition. |
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> dann kommt daraus einfach die bekannte Definition der Summe einer unendlichen Reihe (aus nicht-negativen Summanden, das ist wichtig). Die obige Definition macht im klassischen Verständnis des Summenbegriffs ohnehin nur Sinn, wenn alle sind. Gibt es nämlich auch negative , dann hat diese Summendefinition selbst bei endlichem nichts mehr mit klassischen Summen zu tun. Man könnte diesen Effekt vermeiden, indem man die Definition erweitert in dem Sinne mit und , mit möglichen Werten in . Allerdings muss im Fall die Existenz einer Gesamtsumme ausgeschlossen werden. Letzteres betrifft dann etwa konvergente, aber nicht absolut konvergente klassische Reihen. |
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Vielen Dank an euch, damit habt ihr mir sehr geholfen. |
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