Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Summen von Reihen berechnen

Summen von Reihen berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: reih, Summen

anonymous

14:57 Uhr, 01.12.2014

Wiedermal hab ich ein Problem und zwar ist die Aufgabe,

Berechnen Sie die Summen der Reihen.:

a) \sum^{\infty} \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)}

(die Summe geht von

n = 1

bis

\infty)

Reicht es jetzt wenn ich alles mögliche ausmultipliziere und die Klammern auflöse?

Lg

gonnabeph aktiv_icon

15:09 Uhr, 01.12.2014

Wie sieht dann dein Plan aus wenn du den Nenner ausmultipliziert hast?
Du solltest zuerst mal eine Indexverschiebung machen und deine Reihe von 2 starten lassen. Dann vereinfacht sich der Nenner schonmal etwas. Dann Partialbruchzerlegung.

anonymous

15:14 Uhr, 01.12.2014

Ich hätte jetzt einfach

n (n + 1) (n + 2)

ausmultipliziert und dann komm ich im Nenner auf

n^{3} + 3 n^{2} + 2 n

und ab da weiß ich jetzt eben nicht weiter. Wenn ich eine Indexverschiebung machen soll was muss ich da genau tun? einfach nur einen anderen Index schreiben?

gonnabeph aktiv_icon

15:17 Uhr, 01.12.2014

Wenn du bei zwei startest musst du

n

durch

n - 1

ersetzen. Dann vereinfacht sich der Nenner. Danach versuch es mal mit einer Partialbruchzerlegung.

anonymous

15:20 Uhr, 01.12.2014

Ok werd ich versuchen. Danke!

anonymous

15:30 Uhr, 01.12.2014

Ich hab jetzt alle

n

durch

n - 1

ersetzt und bekomm dann für den Nenner

n^{3} + n^{2} - 2 n

heraus. Dann hab ich noch die Parialbruchzerlegung gemacht und da komm ich aufs Ergebnis:

\frac{1}{n^{3}} + n^{2} - 2 n = \frac{\frac{1}{3}}{n - 1} + \frac{\frac{1}{6}}{n + 2} - \frac{\frac{1}{2}}{n + 0}

Hab ich jetzt schon die Summen der Reihen?

gonnabeph aktiv_icon

15:48 Uhr, 01.12.2014

Ich sollte mehr Kaffee trinken, die Indexverschiebung war komplett unnötig. Du hast jetzt also

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{3 (n - 1)} + \frac{1}{6 (n + 2)} - \frac{1}{2 n}

Du kannst dir jetzt die n-te Partialsumme anschauen und gucken ob es sich um eine Teleskopreihe handelt. Zumindest wäre das mein Vorschlag. Wenn jemand noch eine andere Idee hat, der soll sich melden.

anonymous

16:56 Uhr, 01.12.2014

Was genau ist denn eine Teleskopreihe ich kann das in meinen Unterlagen nirgends finden?

Nonfamous aktiv_icon

17:56 Uhr, 01.12.2014

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})

ist eine Teleskopreihe.

Beweis:

\sum_{n = 1}^{m} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} . .

+ \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1}

Wie du siehst fällt der Hauptteil der Elemnte weg und man erhält:

\sum_{n = 1}^{m} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{m + 1}

Setzt man jetzt nur

m = \infty

erhält man:

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = lim_{m \to \infty} (1 - \frac{1}{m + 1}) = 1

Schreibe also die ersten Glieder deiner Summe mal auf und überlege was alles wegfällt. Danach kannt du die Reihe gut abschätzen.
Ich hoffe das hilft dir weiter :-)

anonymous

18:00 Uhr, 01.12.2014

Danke ich werds gleich ausprobieren!

anonymous

18:16 Uhr, 01.12.2014

Ich hab das jetzt mal mit meiner Reihe ausprobiert und ich würde sagen das es keine Teleskopsumme ist lieg ich damit richtig?

Was ist dann im endeffekt mein Ergebnis für die berechnete Summe einer Reihe?

Nonfamous aktiv_icon

19:25 Uhr, 01.12.2014

Es handelt sich bei deiner Reihe auch um eine Teleskopsumme.
Ich habe auch gerade gesehen, dass es bereits einen Fehler in deiner Berechnung gibt.
Wir gehen von dieser Reihe aus:

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n + 4} - \frac{1}{n + 1})

Wie du darauf kommst ist wie schon Anfangs beschrieben durch Partialbruchzerlegung.

Hier mal die ersten 6 Reihenglieder:

(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{10} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{12} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{10} + \frac{1}{14} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{12} + \frac{1}{16} - \frac{1}{7}) + . .

.

Wenn du dir das anschaust kommst kannst du auf eine gute Abschätzung kommen.
Ist auf den ersten Blick leider nicht so offensichtlich wie bei meinem Beispiel.

ledum aktiv_icon

19:47 Uhr, 01.12.2014

Hallo
schrieb die summe besser mit

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n + 2}

jetz lass alle Summen bei

n = 2

anfangen, schreib die Glieder die dann bei den ersten 2 fehlen einzeln davor, dann hast du nur noch eine sehr einfache Summe!
Gruß ledum

anonymous

10:23 Uhr, 02.12.2014

Das wären mal meine ersten Reihenglieder wenn ich bei

n = 2

starte:

(\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{10}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{12}) + (\frac{1}{10} - \frac{1}{6} + \frac{1}{14}) + (\frac{1}{12} - \frac{1}{7} + \frac{1}{16}) + . .

.

aber bis jetzt kürzt sich gerade mal

\frac{1}{6}

weg. Der Rest bleibt ja irgendwie noch über.. Wie schaut meine Summe dann aus?

\sum \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n + 2}

so?

abakus

11:02 Uhr, 02.12.2014

Hallo,
die Diskussion war gestern schon mal bei dem Term

\frac{1}{3 (n - 1)} + \frac{1}{6 (n + 2)} - \frac{1}{2 n}

Ich habe jetzt nicht kontrolliert, ob diese richtig war. Wenn ja, dann
ginge es besser, wenn überall 6 im Nenner steht.
Nach Erweitern kommt man auf

\frac{2}{6 (n - 1)} + \frac{1}{6 (n + 2)} - \frac{3}{6 n}

Die ersten Summanden aus dem ersten Bruch sind
2/6
2/12
2/18
und dann
2/24
2/30
...
Die ersten Summanden aus dem zweiten Bruch sind
1/24
1/30
...
Nun kann man
2/24 und 1/24 zu 3/24 zusammenfassen,
2/30 und 1/30 zu 3/30 zusammenfassen usw.
lediglich die ersten Summanden 2/6, 2/12 und 2/18 bleiben allein stehen.

Von all dem werden die Brüche des dritten Summanden subtrahiert, und die sind
3/12
3/18
(und jetzt wird es interessant):
3/24
3/30
usw.
Alles, was du oben zusammengefasst hast, wird also hier wieder wegsubtrahiert.
Übrig bleiben (2/6 + 2/12 + 2/18)- 3/12 - 3/18.
Viele Grüße
Gast62

Respon

11:04 Uhr, 02.12.2014

\frac{1}{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)} = - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 \cdot (n + 2)} + \frac{1}{2 \cdot n} = \frac{1}{2} \cdot [- \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n}]

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} [- \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n}] =

Betrachte die Summe

\sum_{n = 1}^{\infty} [- \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n}] =

- \frac{2}{2} + [\frac{1}{3}] + \frac{1}{1} -

[- \frac{2}{3}] + (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} -

(- \frac{2}{4}) + \frac{1}{5} + [\frac{1}{3}] -

- \frac{2}{5} + \frac{1}{6} + (\frac{1}{4}) -

- \frac{2}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{5} -

- \frac{2}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6} -

- \frac{2}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{7} -

usw.

Jeweils drei Brüche ( mit den Klammern angedeutet ) heben einander auf. Es bleibt also nur übrig

- \frac{2}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

In Verbindung mit dem Faktor

\frac{1}{2}

vor dem Summenzeichen ist unser Ergebnis also

\frac{1}{4}

anonymous

11:12 Uhr, 02.12.2014

Ah ok jetzt versteh ich mal wie sich die ganzen Brüche gegenseitig aufheben. Danke!
Ist

\frac{1}{4}

jetzt schon mein Ergebnis oder muss da jetzt noch irgendeine Summe angehängt werden?

Respon

11:15 Uhr, 02.12.2014

\frac{1}{4}

ist das Endergebnis
siehe dazu auch die Bestätigung durch "Wolfram"

anonymous

11:16 Uhr, 02.12.2014

Wow super danke! Ich hab ein

(b)

auch noch bei der Aufgabe ich werds gleich versuchen!
Lg

anonymous

11:43 Uhr, 02.12.2014

Ich hab jetzt mit (b)

\sum \frac{2 n - 1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}

angefangen und schon eine PBZ gemacht dann komm ich wieder durch herausheben von

\frac{1}{2}

auf:

\frac{1}{2} \sum - \frac{1}{n + 1} + \frac{5}{n + 2} - \frac{7}{n + 3} + \frac{3}{n + 4}

dann hab ich einfach wieder die ersten Zahlen eingesetzt aber ich seh da keine Regelmäßigkeit also ich seh nichts das sich aufheben würde. Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?

anonymous

12:05 Uhr, 02.12.2014

Hab jetzt doch was erspäht und zwar bleibt mir im endeffekt (-1/2+3/5-7/4-1/3+5/4-1/4)übrig wenn ich das noch mal die

\frac{1}{2}

rechne die ich vorher herausgehoben hab komm ich auf mein Ergebnis:

\sum \frac{2 n - 1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)} = \frac{1}{24}

stimmt das so?

Respon

12:08 Uhr, 02.12.2014

BINGO !

anonymous

12:22 Uhr, 02.12.2014

Ja danke nochmal für die nette Hilfe!

Lg Katrin

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1202437

1202288

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?