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Summenausdruck vereinfachen

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Tags: Sonstig

AndreasArtemyev aktiv_icon

19:11 Uhr, 13.09.2018

Ich weiß nicht, wie ich den folgenden Summenausdruck vereinfachen soll. Ich arbeite normalerweise fast nur mit Zufallsvariablen, bei diesen würde ja der ausdruck 1/N*Summe(xi) den mittelwert von

x

ergeben. Da hier aber nicht mit zufallsvariablen gerechnet wird, bin ich mir unsicher, wie ich zu vereinfachen habe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

20:09 Uhr, 13.09.2018

Erste Klammer gemäß der bin. Formel ausrechnen und Summe auseinandernehmen. Achte, über welche Indizes summiert wird und reduziere.
( Oder fasse erste und zweite Summe vorerst zusammen. )

Respon

20:30 Uhr, 13.09.2018

Und ? Geht was weiter ?
Du könntest

z . B

. so anfangen:

. .

. =

= \sum_{j = 1}^{n} {(x_{j})}^{2} - \sum_{j = 1}^{n} (\frac{2 \cdot x_{j}}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i})) + \sum_{j = 1}^{n} (\frac{1}{n^{2}} \cdot {(\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}))}^{2}) - \sum_{j = 1}^{n} {(x_{j})}^{2} + \frac{1}{n} \cdot {(\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}))}^{2} = . .

.
Hier fallen schon mal zwei Teilsummen weg. Und bei den restlichen Summen beachten, über welche Indizes summiert wird.

Roman-22

20:48 Uhr, 13.09.2018

>

Ich arbeite normalerweise fast nur mit Zufallsvariablen, bei diesen würde ja der ausdruck 1/N*Summe(xi) den mittelwert von

x

ergeben. Da hier aber nicht mit zufallsvariablen gerechnet wird, bin ich mir unsicher, wie ich zu vereinfachen habe

?? Ob Zufallsvariable, Messdaten oder sonst was - dies Summe ist in jedem Fall der Mittelwert der

n

Zahlen

x_{i}

.

Der Ausdruck vereinfacht sich übrigens zu Null.

AndreasArtemyev aktiv_icon

21:06 Uhr, 13.09.2018

Vielen Dank, mit dem Tipp von vorhin bin ich auf darauf gekommen und konnte die 2 Teilsummen wegkürzen.

Wenn eine variable in einer Summe einen anderen Index hat, dann kann diese als konstante behandelt werden richtig?

Respon

21:08 Uhr, 13.09.2018

So ist es, du kannst den multiplikativen Term vor die Summe mit "

j

" ziehen - und zuletzt ist alles weg.

AndreasArtemyev aktiv_icon

21:36 Uhr, 13.09.2018

Wenn ich eine Summe habe, in welcher keiner der enthaltenen Terme den entsprechenden Index hat, und all diese Terme, da sie Konstante sind, vor die Summe ziehe, ist die Summe dann null?

z . B :

∑j=1n(1n2⋅(∑i=1n(xi))2)

Vielen Dank für die Unterstützung!!!

Respon

21:40 Uhr, 13.09.2018

Nein, dann wird dieser Term n-mal summiert, also mal

n

genommen.
Schau dir das mal an :

. .

= - \sum_{j = 1}^{n} (\frac{2 \cdot x_{j}}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i})) + \sum_{j = 1}^{n} (\frac{1}{n^{2}} \cdot {(\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}))}^{2}) + \frac{1}{n} \cdot {(\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}))}^{2} =

= - \frac{2}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}) \cdot \sum_{j = 1}^{n} (x_{j}) + \frac{1}{n} \cdot {(\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}))}^{2} + \frac{1}{n} \cdot {(\sum_{i = 1}^{n} (x_{i}))}^{2} = 0

In der zweiten Teilsumme wird der Term

n

mal genommen

\Rightarrow n \cdot \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n}

.
In der ersten Teilsumme werden zwei gleiche Summen miteinander multipliziert, also quadriert.

AndreasArtemyev aktiv_icon

21:54 Uhr, 13.09.2018

ich kann also in der ersten Teilsumme die Summanden miteinander multiplizieren, auch wenn sie verschiedene Indizes haben richtig?

Jetzt verstehe ich!!!!
Ich danke ihnen VIELMALS
Das Beispiel hat mich schon in den Wahnsinn getrieben

Respon

21:55 Uhr, 13.09.2018

Wir Österreicher schaffen das !
Und "Häkchen" machen.

AndreasArtemyev aktiv_icon

21:56 Uhr, 13.09.2018

:-D) :-D) :-D)

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