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Summenberechnung

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Tags: Geometrische Reihe, Geometrische Summenformel, reih, Reihenberechnung, Summen

zana- aktiv_icon

12:44 Uhr, 27.11.2015

Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei den Wert einer unendlich geometrischen Reihe zu berechnen, bin mir bei meinem Ergebnis allerdings nicht ganz sicher.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen:

Summe:
Untere Grenze: $n = 2$
Obere Grenze: unendlich

$\frac{6^{n} - 2^{n}}{5^{n + 1} \cdot 2^{n - 1}}$

Da $n = 2$ ist und ich damit die Formel für die unendlich geometrische Reihe nicht anwenden kann habe ich die Summe
umgeschrieben:
Untere Grenze: $k = 0$
Obere Grenze: unendlich

dann steht hier folgendes: $\frac{6^{k + 2} - 2^{k + 2}}{5^{k + 3} \cdot 2^{k + 1}}$

ich hab dann die zweien miteinander verrechnet und die Konstanten vorgezogen, sodass dran steht:
$- 2 \cdot 36 \cdot (\frac{1}{125}) \cdot \frac{1}{1 - (\frac{6}{5})}$ und ich kriege als Ergebnis $\frac{72}{25}$ .

Ich bin mir nicht sicher ob ich die Indextransformation richtig vorgenommen hab und ob ich nicht irgendwo etwas vernachlässigt habe. Wäre nett wenn jemand vllt. kurz drüber schauen könnte.

Liebe Grüße

zana-

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Edddi aktiv_icon

12:55 Uhr, 27.11.2015

Zieh' doch einfach die ersten beiden Glieder von der Reihe ab!

$\sum_{2}^{\infty} a_{n} = \sum_{0}^{\infty} a_{n} - \sum_{0}^{1} a_{n} = (\sum_{0}^{\infty} a_{n}) - a_{0} - a_{1}$

;-)

zana- aktiv_icon

13:00 Uhr, 27.11.2015

Aber ich find das irgendwie verwirrender, kann ich das nicht so machen wie ich das gemacht hab?

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich auf jeden Fall einen Fehler gemacht hab, weil der Betrag von $q$ ja kleiner als 1 sein muss, bei mir ist er aber größer...

Matlog aktiv_icon

13:09 Uhr, 27.11.2015

Deine Indextransformation war richtig, auch wenn ich es eher wie Edddi machen würde.

Du hast aber noch mehr Fehler gemacht (außer dem mit $q \geq 1)$ .
Hast Du etwa aus der Differenz gekürzt?

Teile die Summe in zwei geometrische Reihen auf!

zana- aktiv_icon

13:56 Uhr, 27.11.2015

OMG du hast Recht! Ich habe nochmal versucht.
Ist das Ergebnis $\frac{18}{25}$ ?

Matlog aktiv_icon

14:01 Uhr, 27.11.2015

Also ich käme auf $\frac{17}{50},$ aber ohne Gewähr!

Edddi aktiv_icon

14:20 Uhr, 27.11.2015

Die andere Variante wie gesagt:

$\sum_{2}^{\infty} \frac{6^{n} - 2^{n}}{5^{n + 1} \cdot 2^{n - 1}}$

$= \sum_{2}^{\infty} \frac{6^{n}}{5^{n + 1} \cdot 2^{n - 1}} - \sum_{2}^{\infty} \frac{2^{n}}{5^{n + 1} \cdot 2^{n - 1}}$

$= \frac{2}{5} \cdot (\sum_{2}^{\infty} {(\frac{3}{5})}^{n} - \sum_{2}^{\infty} {(\frac{1}{5})}^{n})$

$= \frac{2}{5} \cdot (- \frac{2}{5} + \sum_{0}^{\infty} {(\frac{3}{5})}^{n} - \sum_{0}^{\infty} {(\frac{1}{5})}^{n})$

$= \frac{2}{5} \cdot (- \frac{2}{5} + (\frac{1}{1 - \frac{3}{5}}) - (\frac{1}{1 - \frac{1}{5}}))$

$= \frac{2}{5} \cdot (- \frac{2}{5} + \frac{5}{2} - \frac{5}{4})$

$= \frac{2}{5} \cdot (\frac{17}{20}) = \frac{17}{50}$ so wie auch Matlog (und ich würde Gewähr geben)

;-)

zana- aktiv_icon

22:37 Uhr, 27.11.2015

Vielen Vielen Dank! Ich hab's jetzt mit meiner Methode auch raus! $=)$

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