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Summenformel beweisen - Hilfe!
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 21:45 Uhr, 25.10.2005  |
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Hi ich habe ein tierisches Problem mit einer Summenformel die ich beweisen muss, wahrscheinlich per vollst. Induktion, weiss aber nicht genau. Zumind. habe ich es damit zuerst einmal versucht. Die Formel lautet: |
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Mit der vollständigen Induktion liegst Du wohl richtig! Gruß Rentner |
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anonymous 22:06 Uhr, 25.10.2005 |
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Ja aber wie muss ich da anfangen.. Also Induktionsbeweis: Für n=1 stimmt die Aussage, dann muss ich den ganzen Kram per Induktionsschritt für n->n+1 beweisen. Aber wie? Ich verzettel mich immer total und ändere die Grenzen vom Summenzeichen falsch. Kann vielleicht jemand den ersten, oder besser noch die ersten beiden Schritte angeben. Muss das bis Freitag haben =( hilfe |
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Beim Schritt von n --> n+1 ist die Voraussetzung, dass die Gleichung für n stimmt. Du musst also den Ausdruck Summe[k=1 bis 2*(n+1)]((-1)^(k+1)/k) so umformen, dass Du zunächst die Voraussetzung ausnutzen kannst und durch anschließende Zusammenfassung auf den Ausdruck Summe[k=n+2 bis 2*(n+1)](1/k) kommst. Gruß Rentner |
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anonymous 22:19 Uhr, 25.10.2005 |
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Das ist mir klar, das hab ich auch schon mit nem Kumpel der mit mir studiert rausgefungen. Aber genau da liegt jetzt das Problem. Wieeeeeee forme ich nun das ganze so um das ich die Voraussetzung nutzen kann und dann auf die o.g. formel komme, um den Beweis zu vervollständigen. Du scheinst Ahnung zu haben, bitte hilf ;) |
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Summe[k=1 bis 2*(n+1)]((-1)^(k+1)/k) = Summe[k=1 bis 2n]((-1)^(k+1)/k) + (-1)^(2n+2)/(2n+1) + (-1)^(2n+3)/(2n+2) = Summe[k=n+1 bis 2n](1/k) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) ..... Kannst Du selbst weitermachen? Gruß Rentner |
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anonymous 22:52 Uhr, 25.10.2005 |
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Kannst du bitte deinen letzten Schritt erläutern, warum fallen die Exponenten weg, mein Kumpel und ich sitzen davor und verstehen es nicht. Vielleicht kannst du auch noch 1-2 Schritte weiter machen. Sorry das wir nerven, aber das ist ziemlich wichtig für unsere Übungen und Vorlesungen. Wie verändert man Grenzen von Summenformeln? Bsp.: Wie wird aus: |
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anonymous 22:58 Uhr, 25.10.2005 |
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Sorry ... die formel war ein Fehler, hab nicht das richtige zeichen erwischt ;) Die formel muss lauten wie wird aus: |
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anonymous 23:00 Uhr, 25.10.2005 |
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anonymous 23:05 Uhr, 25.10.2005 |
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Ok dein letztes Schritt ist uns nun schlüssig, das haben wir... aber wie gehts weiter ;)? Danke |
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Zu Deiner Formel: Vorsicht, Du hast rechts das Produktzeichen verwendet! Aber nun zu den Umformungen bei Summen: Der erste Ausdruck enthält die Summe von k=1 bis 2*(n+1) = 2n + 2. In der Voraussetzung ist nur die Summe bis 2n zu bilden. Es verbleiben die beiden Summanden für k=2n+1 und k=2n+2, die dann auch explizit aufgeführt wurden. Nun kann die Voraussetzung angewendet werden: Ersetzen der einen Summe durch den anderen Ausdruck, der von k=n+1 bis 2n aufsummiert. Jetzt muß nur noch dieser Ausdruck auf die Form einer Summe, die von k=(n+1)+1 bis 2*(n+1) also von k=n+2 bis 2n+2 läuft, gebracht werden, ohne dabei natürlich die beiden expliziten Summanden von oben zu vernachlässigen. Du musst also bei der unteren Grenze erst bei k=n+2 beginnen, was bedeutet, dass Du einen weiteren expliziten Summanden (nämlich den für k=n+1) erhältst. Zum zweiten musst Du um zwei weitere Summanden innerhalb des Summenzeichens erhöhen und der Gerechtigkeit halber diese beiden Summanden (für k=2n+1 und k=2n+2) explizit außerhalb der Summe gleich wieder subtrahieren. Du erhältst also außerhalb der Summe insgesamt fünf Ausdrücke. Wenn alles richtig gerechnet wurde, sollten diese sich gegenseitig aufheben. Gruß Rentner |
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anonymous 23:56 Uhr, 25.10.2005 |
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Jop habens raus! Vielen Dank! mfg sCaLLe & ari |
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