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Summenformel der ersten n Quadratzahlen?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Quadratzahl, Summenformel

 
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Mathemathey

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14:45 Uhr, 31.12.2011

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Hallo Leute!

Ich hab folgendes Problem:

Gegeben ist diese Gleichung:

On=8n3(1+22+32+...+(n-1)2+n2)

Nun meint mein Mathebuch, dass man das leicht umformen kann, da wir hier eine Summe der ersten n Quadtratzahlen in der Klammer haben.

Ich kenn die Formel zwar (Ist doch 12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6 oder?)Aber ich versteh hier eines nicht; Wieso kann man das hier denn anwenden? Dann vernachlässigt man doch vollständig das (n-1)2 oder nicht? Wäre das nicht da, kein Problem, aber so...

Kann mir das jemand erklären? Wieso stört dieses (n-1)2 doch nicht, und man kann getrost diese Formel anwenden, um die Klammer zu vereinfachen?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Shipwater

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15:03 Uhr, 31.12.2011

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Was stört dich denn am (n-1)2? Es gilt k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6 was bedeutet 12+22+32+42+...+(n-3)2+(n-2)2+(n-1)2+n2=n(n+1)(2n+1)6
Also alle Quadratzahlen von 12 bis n2 ergeben addiert n(n+1)(2n+1)6
Dazu gehört natürlich auch die Quadratzahl (n-1)2 (falls n hinreichend groß ist)
Mathemathey

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15:16 Uhr, 31.12.2011

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Ähm... was heißt denn dieses große Σ da?...
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Shipwater

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15:18 Uhr, 31.12.2011

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Das ist das Summenzeichen. k=1nk2 bedeutet eben nichts anderes als 12+22+32+42+...+(n-2)2+(n-1)2+n2
Frage beantwortet
Mathemathey

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15:24 Uhr, 31.12.2011

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Hmm.. okay, das hatte ich noch nicht in der Schule.

Ich hab das jetzt trotzdem leider nicht ganz verstanden... Hmm..

Dieses blöde (n-1)2..

Aber egal, ich will dich nicht weiter nerven. Ich wende die Formel einfach an und rechne weiter.

Danke!
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Shipwater

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15:28 Uhr, 31.12.2011

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Für n=5 hättest du 12+22+32+42+52
Hier wäre (n-1)2 also einfach das 42
Ich verstehe nicht,. wieso dich das verunsichert.
Mathemathey

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15:37 Uhr, 31.12.2011

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Ah!!

Ich glaub ich hab's jetzt auch langsam!

Wenn ich das richtig verstanden habe...:

Das n ist unsere "obere Grenze". Deswegen steht ja auch n2 als letztes bei der Summenformel. Und wenn wir jetzt Beispielsweise n=100 hätten,dann würde das so aussehen:

1+22+32+42+52+62+.......+982+(100-1)2+1002

Weil 100-1=99 ist, passt es in die reihe der natürlichen Zahlen, und die Formel kann angewandt werden.

So in etwa?
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Shipwater

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15:48 Uhr, 31.12.2011

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Ich denke du meinst das richtige.
Frage beantwortet
Mathemathey

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15:58 Uhr, 31.12.2011

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Hoffen wir's mal. ;-)

Danke für deine Geduld!
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Shipwater

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15:59 Uhr, 31.12.2011

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Keine Ursache.
Mathemathey

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18:01 Uhr, 02.01.2012

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Ich hab jetzt noch ein ähnliches Beispiel, und bin schon etwas länger am Grübeln, wie das gehen soll...

Kann mir jemand helfen?


Also die Gleichung lautet:


8n3(1+22+32+...+(n-1)2)

Hier kann man doch diese Formel nicht anwenden, oder?

Ich hab dann verschiedene Sachen versucht, aber ich kann die Gleichung nicht so umformen, dass man ablesen kann was passiert wenn n gegen unendlich läuft.


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Shipwater

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19:15 Uhr, 02.01.2012

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Wenn k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6 dann ist natürlich auch k=1n-1k2=(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)6=(n-1)n(2n-1)6
Frage beantwortet
Mathemathey

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20:59 Uhr, 02.01.2012

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So einfach? Coole Sache!

Dankeschön!

;-)
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Shipwater

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21:17 Uhr, 02.01.2012

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Bitte.