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Summenformel einer alternierenden Reihe gefragt.

Schüler

Tags: alternierende Reihe von Potenzen, Summenformel

werner0234 aktiv_icon

21:49 Uhr, 17.08.2015

Hallo,

wer kennt den Lösungsweg zur Bestimmung der Summenformel
der Reihe

\sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} \cdot k^{4}

zu finden ?

Werner

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

-Wolfgang-

22:38 Uhr, 17.08.2015

Mit der Zerlegung

\sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} \cdot k^{4}

= \sum_{k = 1}^{n} {(2 k)}^{4} - \sum_{k = 1}^{n} {(2 k - 1)}^{4}

kann man es wohl auf bekannte Summenformeln zurückführen,
aber vielleicht ist die gegebene Formel ja ebenso bekannt - wie für

k^{4}, k^{3} . .

. - und es ist eine grundsätzlichere Lösung gesucht?

Gruß Wolfgang

Ralf123 aktiv_icon

11:31 Uhr, 18.08.2015

Hallo,

bilde nach Wolfgangs Vorschlag die Summe der Ausdrücke hinter den beiden Summenzeichen und berechne sie. Du erhältst dann einen Ausdruck in

k,

in dem

k

nur noch in dritter Potenz vorkommt und der von

k = 1

bis

k = n

zu summieren ist. Die Summenformel lässt sich dann in der Form

a_{0} + a_{1} k + a_{2} k^{2} + a_{3} k^{3} + a_{4} k^{4}

darstellen, so dass nur noch die zugehörigen Koeffizienten bestimmen musst.

Gruss von
Ralf

werner0234 aktiv_icon

11:40 Uhr, 19.08.2015

Danke für die Hinweise!

Es ist dann

\sum_{k = 1}^{2} n {(- 1)}^{k} \cdot k^{4} = \sum_{k = 1}^{n} ({(2 k)}^{4} - {(2 k - 1)}^{4})

Wegen

{(2 k)}^{4} - {(2 k - 1)}^{4} = {(2 k)}^{4} - ({(2 k)}^{4} - 32 k^{3} + 24 k^{2} - k + 1) = 32 k^{3} - 24 k^{2} + 8 k - 1

folgt

: \sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} \cdot k^{4} = 32 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{3} - 24 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + 8 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k - 24 \cdot \sum_{k = 1}^{n} 1

und wenn ich jetzt die 4 Summen als bekannt voraussetze bzw. nachschlage und weiterrechne kommt:

\sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} \cdot k^{4} = 8 \cdot n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2} - 4 \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1) + 4 \cdot n \cdot (n + 1) + n \Rightarrow

\sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k} \cdot k^{4} = 8 n^{4} + 8 n^{3} + n

Hoffentlich stimmt das Ergebnis bei der vielen Rechnerei.

Und wenn ich die Potenzsummen nicht - wie oben - voraussetzen kann?

Werner

Roman-22

23:27 Uhr, 19.08.2015

Da hat sich irgendwo ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Richtig ist

8 n^{4} + 8 n^{3} - n

oculus aktiv_icon

19:32 Uhr, 20.08.2015

Hallo,

ich beziehe mich auf Ralfs Antwort. Sein Vorschlag setzt keine Kenntnisse früherer Summenformeln voraus. Wenn du einen einigermaßen leistungsfähigen Taschenrechner hast, kannst du die Koeffizienten der Summenformel

a_{0} + a_{1} \cdot n + a_{2} \cdot n + a_{3} \cdot n + a_{4} \cdot n = s_{n}

bestimmen, indem du zuerst

s_{1}

bis

s_{5}

ausrechnen lässt, die Werte dann oben einsetzt und schließlich das aus 5 Gleichungen bestehende LGS wie üblich durch eine äquivalente Determinantenumformung ausrechnen lässt.

Ich habe dir das mal mit meinen TI-Rechner unten vorgemacht. Sei nicht irritiert, dass in dem schwarz markierten Eintrag oben rechts

cos (k \cdot π)

statt

{(- 1)}^{k}

steht. Weshalb der Rechner das macht, weiß ich nicht. Da aber

cos (k \cdot π) = {(- 1)}^{k}

ist für

k \in ℤ,

ist die Sache rechnerisch in Ordnung.

oculus

werner0234 aktiv_icon

23:01 Uhr, 28.08.2015

Danke an alle, die mitgemacht haben. Da ich nicht so einen komfortablen Rechner habe wie oculus, hätte ich seinen letzten Beitrag nur mit dem Gaußschen Eliminierungsverfahren nachvollziehen können, was mir zu mühsam war. Erstaunlich, was so ein Rechner leistet.

Werner

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